Despeje de Ecuaciones

En esta lección dominaremos el arte de "dejar sola a la incógnita". Usaremos la analogía de la balanza para entender que cualquier cambio en un lado debe replicarse en el otro para mantener el equilibrio.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• El principio fundamental de igualdad y balance.
• Cómo aplicar operaciones inversas para despejar variables.
• La regla práctica de transposición ("lo que suma pasa a restar").
• Cómo despejar fórmulas de física y geometría.

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⚖️ La Ecuación como una Balanza

Imagina una balanza en perfecto equilibrio. Lo que está en el platillo izquierdo pesa exactamente lo mismo que lo que está en el derecho.

$$\text{Lado Izquierdo} = \text{Lado Derecho}$$

Si agregas o quitas peso en un lado, debes hacer exactamente lo mismo en el otro para que no se incline. Eso es resolver una ecuación.

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🔄 Operaciones Inversas

Para dejar sola a la incógnita ($x$), debemos "deshacer" lo que la estorba usando la operación contraria.

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⚙️ Ejemplos Resueltos: Operaciones Básicas

Ejemplo 1: Despejar Sumas

Despejar $x$ en $x + 5 = 12$.

Razonamiento:
El 5 está sumando. Restamos 5 a ambos lados.

$$x + 5 - 5 = 12 - 5$$

Resultado:

$$\boxed{x = 7}$$

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Ejemplo 2

Despejar $x$ en $x + 9 = 20$.

Razonamiento:
Restamos 9 a ambos lados.

$$x = 20 - 9$$

Resultado:

$$\boxed{x = 11}$$

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Ejemplo 3

Despejar $x$ en $x + 3 = 10$.

Razonamiento:
Restamos 3 a ambos lados.

$$x = 10 - 3$$

Resultado:

$$\boxed{x = 7}$$

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Ejemplo 4: Despejar Restas

Despejar $x$ en $x - 8 = 15$.

Razonamiento:
El 8 está restando. Sumamos 8 a ambos lados.

$$x - 8 + 8 = 15 + 8$$

Resultado:

$$\boxed{x = 23}$$

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Ejemplo 5

Despejar $x$ en $x - 4 = 6$.

Razonamiento:
Sumamos 4 a ambos lados.

$$x = 6 + 4$$

Resultado:

$$\boxed{x = 10}$$

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Ejemplo 6

Despejar $x$ en $x - 12 = 3$.

Resultados:

$$x = 3 + 12$$ $$\boxed{x = 15}$$

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Ejemplo 7: Despejar Multiplicaciones

Despejar $x$ en $3x = 21$.

Razonamiento:
El 3 multiplica a la $x$. Dividimos entre 3.

$$\frac{3x}{3} = \frac{21}{3}$$

Resultado:

$$\boxed{x = 7}$$

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Ejemplo 8

Despejar $x$ en $5x = 35$.

Razonamiento:
Dividimos entre 5.

$$x = \frac{35}{5}$$

Resultado:

$$\boxed{x = 7}$$

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Ejemplo 9

Despejar $x$ en $4x = 28$.

Razonamiento:
Dividimos ambos lados entre 4.

$$x = \frac{28}{4}$$

Resultado:

$$\boxed{x = 7}$$

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Ejemplo 10: Despejar Divisiones

Despejar $x$ en $\frac{x}{4} = 9$.

Razonamiento:
El 4 divide a la $x$. Multiplicamos por 4.

$$\frac{x}{4} \cdot 4 = 9 \cdot 4$$

Resultado:

$$\boxed{x = 36}$$

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Ejemplo 11

Despejar $x$ en $\frac{x}{5} = 6$.

Razonamiento:
Multiplicamos ambos lados por 5.

$$x = 6 \cdot 5$$

Resultado:

$$\boxed{x = 30}$$

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Ejemplo 12

Despejar $x$ en $\frac{x}{3} = 7$.

Razonamiento:
Multiplicamos ambos lados por 3.

Resultado:

$$\boxed{x = 21}$$

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🚀 La Regla Práctica: "Pasa al otro lado"

En lugar de hacer la operación en ambos lados, podemos usar este atajo mental: "Si cruza el igual, cambia de operación".

Ejemplo 13

$x + 7 = 20$. El $+7$ pasa restando.

$$x = 20 - 7$$ $$\boxed{x = 13}$$

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Ejemplo 14

$x - 9 = 15$. El $-9$ pasa sumando.

$$x = 15 + 9$$ $$\boxed{x = 24}$$

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Ejemplo 15

$5x = 40$. El $5$ pasa dividiendo.

$$x = \frac{40}{5}$$ $$\boxed{x = 8}$$

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Ejemplo 16

$\frac{x}{6} = 3$. El $6$ pasa multiplicando.

$$x = 3 \cdot 6$$ $$\boxed{x = 18}$$

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⛓️ Ecuaciones de Varios Pasos

A veces hay que deshacer varias "capas" de operaciones. El orden suele ser inverso al de las operaciones: primero sumas/restas, luego multiplicaciones/divisiones.

Ejemplo 17

$2x + 5 = 17$.

1. El $+5$ pasa a restar:

$$2x = 17 - 5 = 12$$

2. El $2$ pasa a dividir:

$$x = \frac{12}{2}$$

Resultado:

$$\boxed{x = 6}$$

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Ejemplo 18

$3x - 7 = 14$.

1. El $-7$ pasa a sumar:

$$3x = 14 + 7 = 21$$

2. El $3$ pasa a dividir:

$$x = \frac{21}{3}$$

Resultado:

$$\boxed{x = 7}$$

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Ejemplo 19

$\frac{x}{2} + 3 = 10$.

1. El $+3$ pasa a restar:

$$\frac{x}{2} = 10 - 3 = 7$$

2. El $2$ pasa a multiplicar:

$$x = 7 \cdot 2$$

Resultado:

$$\boxed{x = 14}$$

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Ejemplo 20

$4(x + 2) = 28$.

1. El $4$ multiplica a todo, pasa a dividir primero:

$$x + 2 = \frac{28}{4} = 7$$

2. El $+2$ pasa a restar:

$$x = 7 - 2$$

Resultado:

$$\boxed{x = 5}$$

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Ejemplo 21

$-3x = 21$.

El $-3$ (completo con su signo) está multiplicando. Pasa a dividir conservando el signo.

$$x = \frac{21}{-3}$$

Resultado:

$$\boxed{x = -7}$$

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Ejemplo 22

$5 - x = 2$.

1. El $5$ (que es positivo) pasa a restar:

$$-x = 2 - 5 = -3$$

2. Multiplicamos todo por $-1$ para quitar el negativo de la $x$:

Resultado:

$$\boxed{x = 3}$$

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🧪 Despeje de Fórmulas

La misma lógica aplica cuando solo hay letras.

Ejemplo 23: Perímetro

De $P = 2l + 2w$, despejar $l$.

1. $2w$ pasa restando:

$$P - 2w = 2l$$

2. El $2$ pasa dividiendo a todo el lado izquierdo:

$$\frac{P - 2w}{2} = l$$

Resultado:

$$\boxed{l = \frac{P - 2w}{2}}$$

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Ejemplo 24: Área Triángulo

De $A = \frac{bh}{2}$, despejar $h$.

1. El $2$ pasa multiplicando:

$$2A = bh$$

2. La $b$ pasa dividiendo:

$$\frac{2A}{b} = h$$

Resultado:

$$\boxed{h = \frac{2A}{b}}$$

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Ejemplo 25: Velocidad

De $v = \frac{d}{t}$, despejar $t$.

1. La $t$ está abajo, primero la subimos multiplicando:

$$v \cdot t = d$$

2. Ahora la $v$ pasa dividiendo:

$$t = \frac{d}{v}$$

Resultado:

$$\boxed{t = \frac{d}{v}}$$

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Ejemplo 26: Cinemática

De $v = v_0 + at$, despejar $a$.

1. $v_0$ pasa restando:

$$v - v_0 = at$$

2. $t$ pasa dividiendo:

$$\frac{v - v_0}{t} = a$$

Resultado:

$$\boxed{a = \frac{v - v_0}{t}}$$

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Ejemplo 27: Fuerza

De $F = ma$, despejar $m$.

La $a$ pasa dividiendo:

Resultado:

$$\boxed{m = \frac{F}{a}}$$

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Ejemplo 28: Temperatura

De $F = \frac{9}{5}C + 32$, despejar $C$.

1. $32$ pasa restando:

$$F - 32 = \frac{9}{5}C$$

2. Multiplicamos por el recíproco $\frac{5}{9}$:

$$\frac{5}{9}(F - 32) = C$$

Resultado:

$$\boxed{C = \frac{5(F - 32)}{9}}$$

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Ejemplo 29: Recta

De $y = mx + b$, despejar $m$.

1. $b$ pasa restando:

$$y - b = mx$$

2. $x$ pasa dividiendo:

$$\frac{y - b}{x} = m$$

Resultado:

$$\boxed{m = \frac{y - b}{x}}$$

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📝 Problemas de Texto

Debemos traducir del español al "matemático".

Ejemplo 31

El triple de un número disminuido en 7 es 14.

Traducción: $3x - 7 = 14$

$$3x = 21 \implies x = 7$$

Resultado:

$$\boxed{7}$$

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Ejemplo 32

El doble de un número aumentado en 5 es 21.

Traducción: $2x + 5 = 21$

$$2x = 16 \implies x = 8$$

Resultado:

$$\boxed{8}$$

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Ejemplo 33

La mitad de un número más 4 es 10.

Traducción: $\frac{x}{2} + 4 = 10$

$$\frac{x}{2} = 6 \implies x = 12$$

Resultado:

$$\boxed{12}$$

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Ejemplo 34

Si restas 8 a un número y multiplicas por 3, da 15.

Traducción: $3(x - 8) = 15$

$$x - 8 = 5 \implies x = 13$$

Resultado:

$$\boxed{13}$$

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Ejemplo 35

El cuádruple de un número es igual al número aumentado en 12.

Traducción: $4x = x + 12$

$$3x = 12 \implies x = 4$$

Resultado:

$$\boxed{4}$$

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Ejemplo 36: Edades

María tiene el triple de edad que su hijo. Suman 48 años.

$x$ (hijo), $3x$ (María).

$$x + 3x = 48 \implies 4x = 48 \implies x = 12$$

Resultado:

$$\boxed{\text{Hijo: 12, María: 36}}$$

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Ejemplo 37: Dinero

Pedro tiene el doble que Juan. Suman 90 pesos.

$x$ (Juan), $2x$ (Pedro).

$$3x = 90 \implies x = 30$$

Resultado:

$$\boxed{\text{Juan: 30, Pedro: 60}}$$

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Ejemplo 38: Compras

Manzanas a 5 pesos. Total 35 pesos.

$$5x = 35 \implies x = 7$$

Resultado:

$$\boxed{7 \text{ manzanas}}$$

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Ejemplo 39: Perímetro

Perímetro 30 cm. Largo es ancho + 4.

$$2x + 2(x+4) = 30 \implies 4x + 8 = 30 \implies 4x = 22 \implies x = 5.5$$

Resultado:

$$\boxed{\text{Ancho: 5.5, Largo: 9.5}}$$

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Ejemplo 40: Trabajo

Cobra 50 pesos visita + 80 pesos/hora. Total 290 pesos.

$$50 + 80h = 290 \implies 80h = 240 \implies h = 3$$

Resultado:

$$\boxed{3 \text{ horas}}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Despeja $x$ en: $x + 12 = 25$.

Ver solución

$$x = 25 - 12$$

Resultado: $\boxed{x = 13}$

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Ejercicio 2

Resuelve: $7x = 63$.

Ver solución

$$x = \frac{63}{7}$$

Resultado: $\boxed{x = 9}$

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Ejercicio 3

Despeja $x$ en: $4x + 3 = 19$.

Ver solución

$$4x = 16 \implies x = 4$$

Resultado: $\boxed{x = 4}$

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Ejercicio 4

Despeja $m$ de la fórmula de densidad $D = \frac{m}{v}$.

Ver solución

$$D \cdot v = m$$

Resultado: $\boxed{m = Dv}$

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Ejercicio 5

Resuelve: $\frac{x}{3} - 2 = 4$.

Ver solución

$$\frac{x}{3} = 6 \implies x = 18$$

Resultado: $\boxed{x = 18}$

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Ejercicio 6

Traduce y resuelve: "El doble de un número más 5 es 15".

Ver solución

$$2x + 5 = 15 \implies 2x = 10$$

Resultado: $\boxed{5}$

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Ejercicio 7

Despeja $h$ en $V = lwh$.

Ver solución

$$h = \frac{V}{lw}$$

Resultado: $\boxed{h = \frac{V}{lw}}$

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Ejercicio 8

Resuelve: $5(x - 1) = 20$.

Ver solución

$$x - 1 = 4 \implies x = 5$$

Resultado: $\boxed{x = 5}$

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Ejercicio 9

Si $E = mc^2$, despeja $m$.

Ver solución

$$m = \frac{E}{c^2}$$

Resultado: $\boxed{m = \frac{E}{c^2}}$

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Ejercicio 10

Un taxi cobra 10 pesos de entrada y 3 pesos por km. Si pagaste 31 pesos, ¿cuántos km recorriste?

Ver solución

$$10 + 3k = 31 \implies 3k = 21$$

Resultado: $\boxed{7 \text{ km}}$

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🔑 Resumen

Conclusión: Despejar es como pelar una cebolla: vamos quitando capas desde afuera hacia adentro hasta llegar al centro, donde está nuestra incógnita.