Suma y Resta con Denominadores Diferentes

¿Intentarías sumar directamente peras con manzanas? No, primero buscas una categoría común: "frutas". En las fracciones pasa lo mismo: no puedes sumar $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ directamente. Primero necesitas encontrar un denominador común. Para esto, tienes dos caminos principales: el método general del MCM y el método rápido de la multiplicación en cruz.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• El método de la multiplicación en cruz (ideal para dos fracciones).
• El método del Mínimo Común Múltiplo (MCM) para cualquier caso.
• 5 ejemplos detallados de cada método.
• Cuándo es mejor usar cada método.
• A simplificar el resultado final independientemente del método usado.

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🛣️ Método 1: Multiplicación en Cruz (La "Carita Feliz")

Este método es directo y mecánico. Es perfecto cuando tienes solo dos fracciones y los denominadores son pequeños o no tienen factores comunes.

La Fórmula:

$$\boxed{\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}}$$

El proceso:

1. Multiplica los denominadores ($b \cdot d$): Este será tu nuevo denominador.
2. Multiplica en cruz ($a \cdot d$ y $b \cdot c$): Estos serán los términos de tu numerador.
3. Simplifica: Al final, revisa si puedes factorizar y cancelar.

⚙️ Ejemplos con el Método en Cruz

Ejemplo 1: Denominadores simples

Suma: $\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{y}$

Razonamiento:

1. Denominador: $x \cdot y$.
2. Cruzado: $3y + 2x$.

Resultado: $\boxed{\frac{3y + 2x}{xy}}$

Ejemplo 2: Resta con números y letras

Resta: $\dfrac{5}{2a} - \dfrac{1}{3b}$

Razonamiento:

1. Denominador: $2a \cdot 3b = 6ab$.
2. Cruzado: $5(3b) - 1(2a) = 15b - 2a$.

Resultado: $\boxed{\frac{15b - 2a}{6ab}}$

Ejemplo 3: Binomios distintos

Suma: $\dfrac{2}{x+1} + \dfrac{3}{x-1}$

Razonamiento:

1. Denominador: $(x+1)(x-1) = x^2 - 1$.
2. Cruzado: $2(x-1) + 3(x+1)$.
3. Resolvemos arriba: $2x - 2 + 3x + 3 = 5x + 1$.

Resultado: $\boxed{\frac{5x + 1}{x^2 - 1}}$

Ejemplo 4: Suma con un entero

Suma: $x + \dfrac{2}{x-1}$

Razonamiento:
Imagina un 1 debajo de la x: $\frac{x}{1} + \frac{2}{x-1}$.

1. Denominador: $1 \cdot (x-1) = x-1$.
2. Cruzado: $x(x-1) + 2(1)$.
3. Operamos: $x^2 - x + 2$.

Resultado: $\boxed{\frac{x^2 - x + 2}{x - 1}}$

Ejemplo 5: Cruz con simplificación final

Resta: $\dfrac{x}{y} - \dfrac{x}{2y}$

Razonamiento:
Aunque tienen factor común $y$, usemos cruz para ver qué pasa.

1. Denominador: $y \cdot 2y = 2y^2$.
2. Cruzado: $x(2y) - x(y) = 2xy - xy = xy$.
3. Simplificamos final: $\frac{xy}{2y^2} = \frac{x}{2y}$.

Resultado: $\boxed{\frac{x}{2y}}$

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🛣️ Método 2: El Mínimo Común Múltiplo

Este es el método general. Es obligatorio cuando tienes tres o más fracciones o cuando los denominadores son polinomios grandes que comparten factores.

El proceso de 4 pasos:

1. Hallar el MCM: Factoriza los denominadores y encuentra el Mínimo Común Múltiplo.
2. Ajustar Numeradores: Divide el MCM por cada denominador viejo y multiplica por su numerador.

   "Lo que le falta al denominador, se lo pones al numerador".

3. Operar: Suma o resta los numeradores.
4. Simplificar: Factoriza el resultado final.

⚙️ Ejemplos con el Método MCM

Ejemplo 6: Denominadores monomios (comparten variable)

Suma: $\dfrac{3}{2x} + \dfrac{5}{4x^2}$

Razonamiento:

1. MCM de $2x$ y $4x^2$ es $4x^2$.
2. Ajuste:
   • 1ra: le falta $2x$ para llegar a $4x^2$. $\to 3(2x) = 6x$.
   • 2da: no le falta nada. $\to 5$.
3. Suma: $6x + 5$.

Resultado: $\boxed{\frac{6x + 5}{4x^2}}$

Ejemplo 7: Tres fracciones

Suma: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2x} + \dfrac{1}{3x}$

Razonamiento:

1. MCM de $x, 2x, 3x$ es $6x$.
2. Ajuste:
   • 1ra: falta 6. $\to 6$.
   • 2da: falta 3. $\to 3$.
   • 3ra: falta 2. $\to 2$.
3. Suma: $6 + 3 + 2 = 11$.

Resultado: $\boxed{\frac{11}{6x}}$

Ejemplo 8: Denominador factorizable (Diferencia de cuadrados)

Suma: $\dfrac{2}{x^2-9} + \dfrac{1}{x+3}$

Razonamiento:

1. Factorizamos: $x^2-9 = (x+3)(x-3)$.
2. MCM: $(x+3)(x-3)$.
3. Ajuste:
   • 1ra: Completa. $\to 2$.
   • 2da: Le falta $(x-3)$. $\to 1(x-3)$.
4. Suma: $2 + x - 3 = x - 1$.

Resultado: $\boxed{\frac{x - 1}{x^2 - 9}}$

Ejemplo 9: Denominador trinomio cuadrado perfecto

Resta: $\dfrac{x}{x^2+2x+1} - \dfrac{1}{x+1}$

Razonamiento:

1. Factorizamos: $x^2+2x+1 = (x+1)^2$.
2. MCM: $(x+1)^2$.
3. Ajuste:
   • 1ra: Completa. $\to x$.
   • 2da: Le falta $(x+1)$. $\to 1(x+1)$.
4. Resta (cuidado con el signo):

$$x - (x+1) = x - x - 1 = -1$$

Resultado: $\boxed{\frac{-1}{(x+1)^2}}$

Ejemplo 10: Signos opuestos

Suma: $\dfrac{2}{x-3} + \dfrac{3}{3-x}$

Razonamiento:

1. Truco: $3-x = -(x-3)$.
2. MCM: $(x-3)$. Pero cambiamos el signo de la segunda fracción.

$$\frac{2}{x-3} - \frac{3}{x-3}$$

3. Como ahora tienen igual denominador: $2 - 3 = -1$.

Resultado: $\boxed{\frac{-1}{x-3}}$

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⚡ ¿Cuál método elijo?

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1 (Método Cruz)

Calcula $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}$ (Fórmula general).

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Razonamiento:
Aplicamos la definición de suma de fracciones heterogéneas.

$$\frac{ad + bc}{bd}$$

Resultado: $\boxed{\frac{ad+bc}{bd}}$

Ejercicio 2 (Método Cruz)

Resta $\dfrac{5}{a} - \dfrac{2}{3}$.

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Razonamiento:
Multiplicamos en cruz. Denominador $3a$.

$$\frac{5(3) - 2(a)}{3a} = \frac{15 - 2a}{3a}$$

Resultado: $\boxed{\frac{15 - 2a}{3a}}$

Ejercicio 3 (Método MCM)

Suma $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}$.

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Datos: MCM entre $x$ y $x^2$ es $x^2$.
Razonamiento:
A la primera le falta una $x$.

$$\frac{1(x) + 1}{x^2}$$

Resultado: $\boxed{\frac{x+1}{x^2}}$

Ejercicio 4 (Método Cruz)

Calcula $\dfrac{2}{x+2} + \dfrac{3}{x-2}$.

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Razonamiento:

$$\frac{2(x-2) + 3(x+2)}{(x+2)(x-2)}$$ $$\frac{2x - 4 + 3x + 6}{x^2-4} = \frac{5x + 2}{x^2-4}$$

Resultado: $\boxed{\frac{5x+2}{x^2-4}}$

Ejercicio 5 (Método MCM)

Suma $\dfrac{4}{x-3} + \dfrac{5}{(x-3)^2}$.

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Datos: El MCM es $(x-3)^2$ porque contiene al otro.
Razonamiento:
Al primero le falta un $(x-3)$.

$$\frac{4(x-3) + 5}{(x-3)^2} = \frac{4x - 12 + 5}{(x-3)^2}$$

Resultado: $\boxed{\frac{4x-7}{(x-3)^2}}$

Ejercicio 6 (Método Cruz)

Simplifica $\dfrac{x}{y} - \dfrac{x}{2y}$.

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Razonamiento:
Denominador común $2y^2$ (si usamos cruz) o $2y$ (si usamos MCM). Usemos MCM que es más limpio.
MCM = $2y$. A la primera le falta un 2.

$$\frac{2x - x}{2y} = \frac{x}{2y}$$

Resultado: $\boxed{\frac{x}{2y}}$

Ejercicio 7 (Suma de 3)

Suma $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}$.

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Datos: MCM = $2x^2$.
Razonamiento:

$$\frac{x^2(1) + 2x(1) + 2(1)}{2x^2}$$

Resultado: $\boxed{\frac{x^2+2x+2}{2x^2}}$

Ejercicio 8 (Polinomios)

Resta $\dfrac{2x}{x^2-1} - \dfrac{1}{x+1}$.

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Datos: $x^2-1 = (x+1)(x-1)$. Este es el MCM.
Razonamiento:
A la segunda fracción le falta $(x-1)$.

$$\frac{2x - 1(x-1)}{x^2-1} = \frac{2x - x + 1}{x^2-1}$$

Resultado: $\boxed{\frac{x+1}{x^2-1} = \frac{1}{x-1}}$

Ejercicio 9 (Signos)

Calcula $\dfrac{3}{a-b} + \dfrac{2}{b-a}$.

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Truco: $b-a = -(a-b)$.
Razonamiento:
Cambiamos el signo de la segunda fracción para igualar denominadores.

$$\frac{3}{a-b} - \frac{2}{a-b} = \frac{3-2}{a-b}$$

Resultado: $\boxed{\frac{1}{a-b}}$

Ejercicio 10 (Reto)

Suma $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$.

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Datos: MCM = $abc$.
Razonamiento:

$$\frac{bc + ac + ab}{abc}$$

Resultado: $\boxed{\frac{ab+bc+ac}{abc}}$

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🔑 Resumen

Consejo: Ante la duda, el MCM nunca falla. La cruz es rápida, pero peligrosa si no simplificas bien al final.