Trinomio de la forma x² + bx + c

Cuando el coeficiente de $x^2$ es 1, factorizar el trinomio se reduce a encontrar dos números que cumplan dos condiciones simples: que multiplicados den el último término y sumados den el del medio.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• A identificar trinomios donde el coeficiente de $x^2$ es 1.
• A encontrar dos números que cumplan la regla de suma y producto.
• A determinar los signos correctos según el trinomio.
• A factorizar estos trinomios de forma rápida.

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🔍 ¿Cómo factorizar este trinomio?

Para factorizar un trinomio como $x^2 + bx + c$, buscamos dos números (llamémoslos $m$ y $n$) que cumplan dos reglas:

1. Multiplicados deben dar el último número ($c$).
2. Sumados deben dar el número del medio ($b$).

Ejemplo: Buscando la pareja

Factoriza: $x^2 + 5x + 6$

• Buscamos dos números que multipliquen 6 y sumen 5.
• Parejas que multiplican 6: $(1, 6)$ y $(2, 3)$.
• ¿Cuál de esas suma 5? ¡La pareja $(2, 3)$!

Resultado: $\boxed{(x + 2)(x + 3)}$

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📏 La Regla de los Signos

Para no perder tiempo probando, sigue esta guía:

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Con signos negativos

Factoriza: $x^2 - 7x + 10$

Razonamiento:

1. Producto $= 10$ (positivo), Suma $= -7$ (negativo).

2. Según la regla, ambos números deben ser negativos.

3. Parejas de 10:

$$(-1, -10) \quad \text{y} \quad (-2, -5)$$

4. ¿Cuál suma -7? La pareja $(-2, -5)$.

Resultado: $\boxed{(x - 2)(x - 5)}$

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Ejemplo 2: El reto del signo diferente

Factoriza: $x^2 + 2x - 8$

Razonamiento:

1. Producto $= -8$ (negativo). Esto significa signos diferentes ($+$, $-$).

2. Suma $= +2$. El número más grande debe ser el positivo.

3. Parejas de 8:

$$(8, 1) \quad \text{y} \quad (4, 2)$$

4. Probamos con signos: $+4$ y $-2$. Su suma es $+2$. ¡Correcto!

Resultado: $\boxed{(x + 4)(x - 2)}$

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Ejemplo 3: El número más grande es negativo

Factoriza: $x^2 - x - 12$

Razonamiento:

1. Producto: $-12$. Signos diferentes ($+$, $-$).

2. Suma: $-1$. El mayor valor absoluto debe ser negativo.

3. Buscamos factores de 12 cuya resta sea 1:

$$(4, 3)$$

4. Asignamos signos: $-4$ y $+3$. Suma: $-1$. Producto: $-12$. ¡Perfecto!

Resultado: $\boxed{(x - 4)(x + 3)}$

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Ejemplo 4: Coeficiente "1" invisible

Factoriza: $a^2 + 11a + 18$

Razonamiento:

1. Producto: $+18$. Signos iguales ($+$, $+$ o $-$, $-$).

2. Suma: $+11$. Ambos positivos.

3. Factores de 18:

$$(1, 18), \quad (2, 9), \quad (3, 6)$$

4. La pareja $(2, 9)$ suma exactamente 11.

Resultado: $\boxed{(a + 2)(a + 9)}$

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Ejemplo 5: Factor común primero

Factoriza: $2x^3 + 8x^2 - 42x$

Razonamiento:

1. Factor común: Notamos que todos dividen por $2x$. Extraemos:

$$2x(x^2 + 4x - 21)$$

2. Trinomio: Ahora factorizamos el bloque $x^2 + 4x - 21$.

3. Buscamos números que multipliquen $-21$ y sumen $+4$.

4. Pareja:

$$+7 \quad \text{y} \quad -3$$

5. Resultado final: Unimos el factor común con los binomios.

Resultado: $\boxed{2x(x + 7)(x - 3)}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Encuentra dos números que multipliquen 12 y sumen 7.

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Razonamiento:

Factores de 12:

$$(1,12), \quad (2,6), \quad (3,4)$$

La pareja (3,4) suma 7.

Resultado: $\boxed{3 \text{ y } 4}$

Ejercicio 2

Factoriza: $x^2 + 8x + 15$.

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Razonamiento:

Números que multiplican 15 y suman 8:

$$3, \quad 5$$

Resultado: $\boxed{(x + 3)(x + 5)}$

Ejercicio 3

Factoriza: $a^2 - 9a + 20$.

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Razonamiento:

Multiplican +20 y suman -9. Ambos son negativos:

$$-4 \quad \text{y} \quad -5$$

Resultado: $\boxed{(a - 4)(a - 5)}$

Ejercicio 4

Encuentra la pareja para $m^2 - m - 6$.

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Razonamiento:

Multiplican -6 y suman -1. Signos diferentes:

$$-3 \quad \text{y} \quad +2$$

Resultado: $\boxed{(m - 3)(m + 2)}$

Ejercicio 5

Resuelve: $y^2 + y - 12$.

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Razonamiento:

Multiplican -12 y suman +1. Pareja:

$$+4 \quad \text{y} \quad -3$$

Resultado: $\boxed{(y + 4)(y - 3)}$

Ejercicio 6

Factoriza: $x^2 - 11x + 18$.

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Razonamiento:

Multiplican +18 y suman -11. Pareja:

$$-9 \quad \text{y} \quad -2$$

Resultado: $\boxed{(x - 9)(x - 2)}$

Ejercicio 7

Factoriza: $x^2 + 10x + 21$.

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Razonamiento:

Multiplican 21 y suman 10. Pareja:

$$7 \quad \text{y} \quad 3$$

Resultado: $\boxed{(x + 7)(x + 3)}$

Ejercicio 8

Factoriza: $x^2 - 2x - 15$.

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Razonamiento:

Multiplican -15 y suman -2. Pareja:

$$-5 \quad \text{y} \quad +3$$

Resultado: $\boxed{(x - 5)(x + 3)}$

Ejercicio 9

¿Es posible factorizar $x^2 + 2x + 5$ con números enteros?

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Razonamiento:

Buscamos números que multipliquen 5 (solo 1 y 5). Su suma es:

$$1 + 5 = 6 \neq 2$$

Resultado: $\boxed{\text{No es factorizable con enteros}}$

Ejercicio 10

Simplifica usando factorización: $\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$.

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Razonamiento:

Factorizamos arriba:

$$(x-3)(x-2)$$

Cancelamos el $(x-2)$.

Resultado: $\boxed{x - 3}$

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🔑 Resumen

Factorizar trinomios es como ser un detective de números: una vez que encuentras la pareja que cumple las dos pistas (suma y producto), el caso está resuelto.