Resolución de Problemas Lineales

Las matemáticas cobran vida cuando resolvemos problemas. Una factura de teléfono, la velocidad de un auto o el ahorro mensual son situaciones que podemos modelar con funciones lineales para tomar mejores decisiones. En esta lección aprenderás a transformar palabras en ecuaciones.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo identificar la pendiente y el intercepto en textos reales.
• El método para construir funciones a partir de situaciones cotidianas.
• Cómo predecir resultados futuros evaluando la función.
• El uso de la variable independiente y dependiente en contexto.

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🏗️ La Guía Paso a Paso

Para resolver un problema lineal, sigue siempre este orden:

1. Identificar: ¿Quién es $x$ (el tiempo, la cantidad) y quién es $y$ (el costo, la distancia)?
2. Hallar $b$: Busca el valor inicial o costo fijo.
3. Hallar $m$: Busca el ritmo de cambio (lo que se cobra "por cada...").
4. Armar: Escribe la función $y = mx + b$.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: El Plan de Celular

Un plan de celular cuesta 20 pesos mensuales de base y 0.50 pesos por cada minuto extra consumido. Escribe la función del costo total.

Razonamiento:

• Costo base (fijo): $b = 20$.
• Costo por minuto (cambio): $m = 0.50$.
• Variable $x$: minutos extras.

Ecuación:

$$f(x) = 0.50x + 20$$

¿Cuánto pagarás si hablas 100 minutos extras?

$$f(100) = 0.50(100) + 20 = 50 + 20 = 70 \text{ pesos}$$

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Ejemplo 2: El Vaciado de un Tanque

Un tanque con 500 litros de agua se vacía a razón de 25 litros por hora. ¿Cuándo quedarán solo 100 litros?

Razonamiento:

• Valor inicial: $b = 500$.
• Ritmo de pérdida: $m = -25$ (es negativo porque disminuye).
• Función: $y = -25x + 500$.

Buscamos $x$ cuando $y = 100$:

$$100 = -25x + 500$$ $$25x = 500 - 100 \implies 25x = 400$$ $$x = 16 \text{ horas}$$

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Ejemplo 3: El Ahorro para un Viaje

Tienes 200 pesos ahorrados y decides meter 50 pesos cada semana en tu alcancía. ¿Cuánto dinero tendrás en 10 semanas?

Razonamiento:

• $b = 200$.
• $m = 50$.
• Función: $f(x) = 50x + 200$.

Evaluamos para $x = 10$:

$$f(10) = 50(10) + 200 = 500 + 200 = 700 \text{ pesos}$$

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Ejemplo 4: Depreciación de una Computadora

Una computadora costó 3000 pesos. Cada año pierda 400 pesos de su valor original. ¿Cuál será su valor después de 5 años?

Razonamiento:

• $b = 3000$.
• $m = -400$ (pérdida de valor).
• Función: $V(t) = -400t + 3000$.

Evaluamos para $t = 5$:

$$V(5) = -400(5) + 3000 = -2000 + 3000 = 1000 \text{ pesos}$$

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Ejemplo 5: Distancia en Carretera

Un auto sale de Bogotá hacia Medellín y viaja a una velocidad constante de 80 kilómetros por hora. ¿A qué distancia estará después de 4 horas?

Razonamiento:

• Como parte desde el inicio, $b = 0$.
• La velocidad es la pendiente: $m = 80$.
• Función: $d(t) = 80t$.

Evaluamos para $t = 4$:

$$d(4) = 80(4) = 320 \text{ kilómetros}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Un gimnasio cobra 50 pesos de inscripción y 30 pesos por mes. Escribe la función de costo total.

Ver solución

Resultado: $\boxed{y = 30x + 50}$

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Ejercicio 2

Usando la función del gimnasio ($y = 30x + 50$), ¿cuánto habrás pagado en total después de un año (12 meses)?

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$$30(12) + 50 = 360 + 50 = 410$$

Resultado: $\boxed{410 \text{ pesos}}$

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Ejercicio 3

Una vela de 20 cm se consume 2 cm por cada hora. Escribe su función de altura $h(t)$.

Ver solución

Resultado: $\boxed{h(t) = -2t + 20}$

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Ejercicio 4

Un vendedor de libros gana 800 pesos base más 20 pesos por cada libro vendido. Si este mes ganó 1200 pesos, ¿cuántos libros vendió?

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$$1200 = 20x + 800 \implies 400 = 20x \implies x = 20$$

Resultado: $\boxed{20 \text{ libros}}$

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Ejercicio 5

Un automóvil viaja a una velocidad constante de 90 km/h. Escribe la función de distancia $d(t)$.

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Razonamiento: El valor inicial es 0 ($b=0$).
Resultado: $\boxed{d(t) = 90t}$

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Ejercicio 6

Si la función de temperatura en una montaña es $T = -6h + 20$ (donde $h$ es la altura en km), ¿cuál es la temperatura a 2 km de altura?

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$$-6(2) + 20 = -12 + 20 = 8$$

Resultado: $\boxed{8^\circ\text{C}}$

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Ejercicio 7

Un tanque tiene 40 litros y se llena 5 litros cada minuto. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a 100 litros?

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$$100 = 5x + 40 \implies 60 = 5x \implies x = 12$$

Resultado: $\boxed{12 \text{ minutos}}$

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Ejercicio 8

Una cuenta de ahorros inicia con 1000 pesos y cada mes se le depositan 200 pesos. Escribe la función del ahorro total.

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Resultado: $\boxed{y = 200x + 1000}$

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Ejercicio 9

Identifica el "ritmo de cambio" en la situación: "Un artesano fabrica 3 sillas cada día".

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Resultado: $\boxed{m = 3}$

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Ejercicio 10

Un paquete por correo cuesta 15 pesos de envío más 2 pesos por cada kilo. Si el envío costó 25 pesos, ¿cuántos kilos pesaba?

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$$25 = 2x + 15 \implies 10 = 2x \implies x = 5$$

Resultado: $\boxed{5 \text{ kilos}}$

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🔑 Resumen

Conclusión: Las funciones lineales son el puente que conecta el razonamiento lógico con la resolución de problemas en la vida diaria. ¡Úsalas para planificar tu éxito!