Triángulo de Pascal

En la lección anterior aprendimos a usar la fórmula de combinaciones $\binom{n}{k}$ para hallar los coeficientes del binomio. Pero seamos honestos: calcular factoriales una y otra vez es lento y aburrido.

Blaise Pascal popularizó una pirámide numérica mágica que nos regala todos esos coeficientes sin hacer ni una sola multiplicación.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo construir el Triángulo de Pascal desde cero sumando números.
• Cómo obtener los coeficientes de $(a+b)^n$ en segundos.
• Por qué la suma de cada fila es una potencia de 2.
• La simetría oculta en los números combinatorios.

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🏗️ Construyendo la Pirámide

El triángulo se construye con una regla de oro: "Cada número es la suma de los dos que tiene arriba".

Empezamos con un 1 en la cima. Los bordes siempre son 1.

Paso a Paso:

Fila 0: (Solo el 1)

$$1$$

Fila 1: (Bordes 1)

$$1 \quad 1$$

Fila 2: (1+1=2 en el centro)

$$1 \quad 2 \quad 1$$

Fila 3: (1+2=3 y 2+1=3)

$$1 \quad 3 \quad 3 \quad 1$$

Fila 4: (1+3=4, 3+3=6, 3+1=4)

$$1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$$

💡 Dato: Cada fila $n$ corresponde a los coeficientes de la potencia $(a+b)^n$.

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⚡ Propiedades Asombrosas

1. Simetría de Espejo

Si cortas el triángulo por la mitad verticalmente, el lado izquierdo es idéntico al derecho.
Ejemplo Fila 4: $1, 4, 6, 4, 1$.
Esto significa que $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.

2. La Suma de las Filas

¡Suma los números de cada fila y verás potencias de 2!

• Fila 0: $1 = 2^0$
• Fila 1: $1+1 = 2 = 2^1$
• Fila 2: $1+2+1 = 4 = 2^2$
• Fila 3: $1+3+3+1 = 8 = 2^3$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Construir la Fila 5

Queremos los coeficientes para $(a+b)^5$. Usamos la Fila 4 ($1, 4, 6, 4, 1$).

Razonamiento:
Sumamos los vecinos:

• $1$ (borde)
• $1+4 = 5$
• $4+6 = 10$
• $6+4 = 10$
• $4+1 = 5$
• $1$ (borde)

Resultado:

$$\boxed{1, 5, 10, 10, 5, 1}$$

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Ejemplo 2: Expansión rápida

Expande $(x + y)^3$ usando el triángulo.

Razonamiento:
Buscamos la Fila 3: $1, 3, 3, 1$.
Estos son los coeficientes directos.

$$1x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 1y^3$$

Resultado:

$$\boxed{x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3}$$

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Ejemplo 3: Coeficientes con resta

Expande $(2a - 1)^4$.

Datos:

• Fila 4: $1, 4, 6, 4, 1$.
• Signos: Alternados ($+, -, +, -, +$).
• Términos: $a=2a$, $b=1$.

Razonamiento:

$$1(2a)^4 - 4(2a)^3(1) + 6(2a)^2(1)^2 - 4(2a)(1)^3 + 1(1)^4$$

Calculamos potencias:

$$16a^4 - 4(8a^3) + 6(4a^2) - 8a + 1$$ $$16a^4 - 32a^3 + 24a^2 - 8a + 1$$

Resultado:

$$\boxed{16a^4 - 32a^3 + 24a^2 - 8a + 1}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Escribe la Fila 6 del Triángulo de Pascal.

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Razonamiento:
Usamos la Fila 5 ($1, 5, 10, 10, 5, 1$).
Sumamos: $1+5=6$, $5+10=15$, $10+10=20$...

Resultado:

$$\boxed{1, 6, 15, 20, 15, 6, 1}$$

Ejercicio 2

¿Cuál es la suma de los números de la Fila 6?

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Razonamiento:
La suma es $2^n$. Aquí $n=6$.

$$2^6 = 64$$

Resultado:

$$\boxed{64}$$

Ejercicio 3

Expande $(m + n)^5$ usando los coeficientes.

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Razonamiento:
Fila 5: $1, 5, 10, 10, 5, 1$.

$$m^5 + 5m^4n + 10m^3n^2 + 10m^2n^3 + 5mn^4 + n^5$$

Resultado:

$$\boxed{m^5 + 5m^4n + 10m^3n^2 + 10m^2n^3 + 5mn^4 + n^5}$$

Ejercicio 4

Encuentra el coeficiente del término $x^2y^2$ en $(x+y)^4$.

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Razonamiento:
En la Fila 4 ($1, 4, 6, 4, 1$), el término central corresponde a $x^2y^2$.

Resultado:

$$\boxed{6}$$

Ejercicio 5

Expande $(x - 2)^3$.

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Razonamiento:
Fila 3: $1, 3, 3, 1$. Signos alternados.

$$x^3 - 3x^2(2) + 3x(2^2) - 2^3$$ $$x^3 - 6x^2 + 12x - 8$$

Resultado:

$$\boxed{x^3 - 6x^2 + 12x - 8}$$

Ejercicio 6

¿Cuántos números hay en la Fila 10?

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Razonamiento:
La fila $n$ tiene $n+1$ números.

$$10 + 1 = 11$$

Resultado:

$$\boxed{11}$$

Ejercicio 7

Calcula $\binom{7}{0} + \binom{7}{1} + \dots + \binom{7}{7}$.

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Razonamiento:
Es la suma de toda la Fila 7.

$$2^7 = 128$$

Resultado:

$$\boxed{128}$$

Ejercicio 8

Expande $(1 + x)^4$.

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Razonamiento:
Fila 4: $1, 4, 6, 4, 1$.

$$1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$$

Resultado:

$$\boxed{1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4}$$

Ejercicio 9

Si la suma de una fila es 256, ¿qué fila es?

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Razonamiento:
Buscamos $n$ tal que $2^n = 256$.

$$2^8 = 256$$

Resultado:

$$\boxed{\text{Fila } 8}$$

Ejercicio 10

Expande $(a - b)^2$.

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Razonamiento:
Fila 2: $1, 2, 1$. Signos alternados.

$$a^2 - 2ab + b^2$$

Resultado:

$$\boxed{a^2 - 2ab + b^2}$$

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🔑 Resumen

Usa el triángulo de Pascal siempre que necesites expandir binomios rápidamente.