Ángulos entre Rectas

Cuando dos caminos se cruzan, se crea una intersección. En geometría, cuando dos rectas se cortan, nacen cuatro ángulos que están conectados de manera casi mágica: si conoces uno, automáticamente conoces los otros tres.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Qué son los ángulos Opuestos por el Vértice (los espejos).
• Qué son los ángulos Adyacentes (los vecinos de pared).
• Cómo calcular todos los ángulos de un cruce sabiendo solo uno.

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🦋 Ángulos Opuestos por el Vértice

Son los ángulos que están "frente a frente" cuando dos rectas se cruzan. Solo se tocan en el vértice (la punta).

Propiedad Fundamental

$$\text{Los ángulos opuestos por el vértice SON IGUALES}.$$

Si uno mide $50^\circ$, el de enfrente mide $50^\circ$. No importa cómo muevas las rectas, esto siempre se cumple.

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🏘️ Ángulos Adyacentes

Son los ángulos que están uno al lado del otro. Comparten el vértice y un lado, como dos casas pegadas.

Propiedad Fundamental

$$\text{Dos adyacentes sobre una recta SUMAN } 180^\circ.$$

Son suplementarios. Si uno crece, el otro se encoge para mantener la línea recta.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Opuestos por el vértice

Si el ángulo de arriba en una 'X' mide $120^\circ$, ¿cuánto mide el de abajo?

Razonamiento:
Están opuestos por el vértice (frente a frente).
Respuesta: $120^\circ$.

Ejemplo 2: Adyacentes

Si un ángulo mide $30^\circ$, ¿cuánto mide su vecino adyacente en la misma recta?

Razonamiento:
Deben sumar $180^\circ$.

$$180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$$

Respuesta: $150^\circ$.

Ejemplo 3: Cruce Completo

En un cruce, el ángulo norte mide $80^\circ$. Calcula los otros tres (Sur, Este, Oeste).

Razonamiento:

1. Sur (Opuesto): Igual al Norte $\to 80^\circ$.
2. Este (Adyacente): Suplemento del Norte $\to 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.
3. Oeste (Opuesto al Este): Igual al Este $\to 100^\circ$.

Respuesta: Norte $80^\circ$, Sur $80^\circ$, Este $100^\circ$, Oeste $100^\circ$.

Ejemplo 4: Ecuaciones con Opuestos

Dos ángulos opuestos por el vértice miden $(3x + 10)$ y $(4x - 20)$. Halla $x$.

Razonamiento:
Al ser opuestos, son iguales.

$$3x + 10 = 4x - 20$$ $$10 + 20 = 4x - 3x$$ $$30 = x$$

Respuesta: $x = 30$. (Los ángulos medirían $100^\circ$).

Ejemplo 5: Ecuaciones con Adyacentes

Dos ángulos adyacentes miden $x$ y $4x$. Halla los ángulos.

Razonamiento:
Al ser adyacentes en una recta, suman 180.

$$x + 4x = 180$$ $$5x = 180$$ $$x = 36^\circ$$

Los ángulos son $36^\circ$ y $4(36) = 144^\circ$.

Ejemplo 6: Tijeras

Si abres unas tijeras tal que el ángulo entre las hojas es de $45^\circ$, ¿cuál es el ángulo entre los mangos?

Razonamiento:
Las hojas y los mangos forman una 'X'. Son opuestos por el vértice.
Respuesta: $45^\circ$.

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Si el ángulo $\angle A = 50^\circ$, ¿cuánto mide su opuesto por el vértice?

Ver solución

Son iguales.
Resultado: $\boxed{50^\circ}$

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Ejercicio 2

Si el ángulo $\angle B = 110^\circ$, ¿cuánto mide su adyacente sobre la recta?

Ver solución

$180 - 110 = 70$.
Resultado: $\boxed{70^\circ}$

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Ejercicio 3

En una intersección 'X', el ángulo superior es $15^\circ$. ¿Cuánto mide el ángulo izquierdo?

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Son adyacentes. $180 - 15 = 165$.
Resultado: $\boxed{165^\circ}$

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Ejercicio 4

Si dos ángulos opuestos por el vértice suman $100^\circ$, ¿cuánto mide cada uno?

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Como son iguales, deben ser mitad y mitad.
Resultado: $\boxed{50^\circ}$

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Ejercicio 5

Dos rectas perpendiculares se cruzan. ¿Cuánto miden los 4 ángulos?

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Todos son iguales y todos suman 360.
Resultado: $\boxed{90^\circ \text{ cada uno}}$

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Ejercicio 6

Si un ángulo es el doble de su adyacente, ¿cuánto miden?

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$x + 2x = 180 \to 3x=180 \to x=60$.
Resultado: $\boxed{60^\circ \text{ y } 120^\circ}$

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Ejercicio 7

Calcula $y$ si los ángulos opuestos son $2y$ y $80^\circ$.

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$2y = 80 \to y=40$.
Resultado: $\boxed{y=40}$

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Ejercicio 8

¿Cuántos pares de ángulos adyacentes hay en un cruce de dos rectas?

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Hay 4 pares (Norte-Este, Este-Sur, Sur-Oeste, Oeste-Norte).

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Ejercicio 9

Si tres rectas se cruzan en un mismo punto, ¿cuántos ángulos se forman alrededor del vértice?

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6 ángulos.

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Ejercicio 10

Verdadero o Falso: Los ángulos opuestos por el vértice siempre son congruentes.

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Verdadero.

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🔑 Resumen

Conclusión: En un cruce de rectas, solo hay dos medidas de ángulos que se repiten. Un ángulo agudo y un ángulo obtuso (o dos rectos). Si tienes uno, los tienes todos.