Punto, Recta y Plano

Imagina que vas a dibujar un cómic. Antes de hacer los personajes, necesitas el papel (Plano), luego trazas líneas para los bordes (Recta) y finalmente haces detalles puntuales como los ojos (Punto). Estos son los tres "superhéroes" invisibles de la geometría; no se definen, pero construyen todo lo que ves.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Qué son los "conceptos primitivos" y por qué no tienen definición formal.
• La diferencia entre estar alineados (colineales) y estar en el mismo piso (coplanares).
• Cómo se escriben matemáticamente (Notación).
• Cuántos puntos necesitas para definir una recta o un plano.

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📍 El Punto

Es la idea de "ubicación" pura. No mide nada.

• Notación: Letras mayúsculas ($A, B, C$).
• En la vida real: Un pixel muerto en tu pantalla, una estrella en el cielo, la ubicación en Google Maps.

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📏 La Recta

Es una colección infinita de puntos alineados. Es flaca (sin ancho) e infinita (nunca termina).

• Notación:
  • Con dos puntos: $\overleftrightarrow{AB}$ (Léase "Recta AB").
  • Con una letra minúscula: Recta $l$, Recta $m$.
• Propiedad Clave: Por dos puntos pasa exactamente una recta.

Puntos Colineales

Son puntos que viven en la misma línea recta. Si $A, B$ y $C$ están en la misma línea, son colineales. Si $C$ se sale de la fila, no lo son.

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📄 El Plano

Es una superficie plana que se extiende infinitamente en todas direcciones. Es como una hoja de papel infinita.

• Notación: Letras griegas ($\alpha, \beta, \pi$) o tres puntos ($ABC$).
• Propiedad Clave: Por tres puntos no alineados pasa exactamente un plano. (Por eso los trípodes de cámara son estables; tres patas definen un plano perfecto).

Puntos Coplanares

Son puntos (o rectas) que viven en el mismo plano.

• Las patas de tu mesa tocan el suelo (son coplanares).
• Si levantas una pata, esa pata deja de ser coplanar con el suelo.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Notación

Tengo dos puntos $M$ y $N$. ¿Cómo escribo la línea que los conecta?

Respuesta:

$$\overleftrightarrow{MN}$$

Ejemplo 2: Colinealidad

Imagina las cuentas de un collar estirado. ¿Son colineales?

Razonamiento:
Si el hilo está tenso, todas las cuentas siguen una línea recta.
Respuesta: Sí, son colineales.

Ejemplo 3: Definir un Plano

¿Por qué una silla de 4 patas cojea pero un banquillo de 3 patas no?

Razonamiento:

• 3 puntos definen un plano único. Las 3 patas siempre encontrarán un plano donde apoyarse.
• 4 puntos no siempre son coplanares. Si una pata es corta, ese cuarto punto está fuera del plano de los otros tres.

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Dibuja (mentalmente) dos puntos. ¿Cuántas rectas pueden pasar por ambos a la vez?

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Solo una recta.

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Ejercicio 2

¿Cómo se denota una recta que pasa por $X$ y $Y$?

Ver solución

$\overleftrightarrow{XY}$

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Ejercicio 3

Tres pájaros están en un cable de luz tenso. ¿Son puntos colineales?

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Sí, están en la misma recta.

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Ejercicio 4

Se necesitan ___ puntos no alineados para definir un plano.

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Tres.

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Ejercicio 5

¿Punto, Recta o Plano? La superficie de una piscina tranquila.

Ver solución

Plano.

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Ejercicio 6

¿Los puntos $A, B$ y $C$ de un triángulo son colineales?

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No. Si fueran colineales, no formarían un triángulo, sino una línea.

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Ejercicio 7

¿Cómo se llama la propiedad de los puntos que están en el mismo plano?

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Coplanaridad (o ser coplanares).

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Ejercicio 8

Una recta contiene ___ puntos.

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Infinitos.

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Ejercicio 9

¿Dos rectas que se cruzan definen un plano?

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Sí. (Piénsalo como una X dibujada en una hoja).

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Ejercicio 10

Verdadero o Falso: Una recta tiene grosor.

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Falso. Es un concepto unidimensional.

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🔑 Resumen

Conclusión: Si entiendes estos tres, entiendes el esqueleto de todo el universo geométrico. Todo lo demás (cubos, pirámides, esferas) son solo combinaciones de puntos, rectas y planos.