Binomio de Newton

Si te pido calcular $(a+b)^2$, seguro sabes que es $a^2 + 2ab + b^2$. Pero, ¿qué pasa si te pido $(a+b)^{10}$?

Para evitar ese trabajo manual de multiplicar el paréntesis 10 veces, Isaac Newton generalizó un patrón elegante que nos permite expandir cualquier potencia de un binomio en segundos.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo expandir potencias como $(x+y)^5$ sin multiplicar paso a paso.
• El patrón secreto de los exponentes que suben y bajan.
• Cómo usar los números combinatorios para hallar los coeficientes.

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🔍 El Patrón Oculto

Observemos qué pasa cuando elevamos un binomio a diferentes potencias:

$$(a+b)^1 = 1a + 1b$$ $$(a+b)^2 = 1a^2 + 2ab + 1b^2$$ $$(a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 1b^3$$

Si miramos con atención, hay tres reglas de oro:

1. Exponentes de $a$: Empiezan en el máximo ($n$) y bajan de uno en uno hasta desaparecer ($a^0$).
2. Exponentes de $b$: Empiezan en cero ($b^0$) y suben de uno en uno hasta el máximo ($n$).
3. Coeficientes: Los números que acompañan ($1, 3, 3, 1$) no son aleatorios. ¡Son combinaciones!

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📝 La Fórmula General

El Teorema del Binomio dice que para cualquier entero positivo $n$:

$$(a + b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \dots + \binom{n}{n}b^n$$

Donde $\binom{n}{k}$ es el número combinatorio (o coeficiente binomial):

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

💡 Truco: La suma de los exponentes en cada término siempre debe dar $n$.

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⚡ Caso con Resta (Signos Alternados)

Si el binomio es una resta $(a - b)^n$, la fórmula es idéntica, pero los signos se alternan: positivo, negativo, positivo, negativo...

$$(a - b)^n = \binom{n}{0}a^n - \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 - \dots$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Expansión básica

Desarrolla la expresión $(x + 2)^4$.

Paso 1: Los Coeficientes
Para $n=4$, calculamos las combinaciones:
$\binom{4}{0}=1, \binom{4}{1}=4, \binom{4}{2}=6, \binom{4}{3}=4, \binom{4}{4}=1$.

Paso 2: Los Exponentes
$x$ baja: $x^4, x^3, x^2, x^1, x^0$
$2$ sube: $2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4$

Paso 3: Armar la fórmula

$$1(x^4) + 4(x^3)(2) + 6(x^2)(2^2) + 4(x)(2^3) + 1(2^4)$$

Paso 4: Simplificar

$$x^4 + 8x^3 + 6x^2(4) + 4x(8) + 16$$ $$x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$$

Resultado:

$$\boxed{x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16}$$

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Ejemplo 2: Binomio con resta y coeficientes

Desarrolla $(2x - 3)^3$.

Datos:

• $a = 2x$
• $b = 3$
• Signos alternados ($+, -, +, -$)
• Coeficientes para $n=3$: $1, 3, 3, 1$.

Razonamiento:

$$1(2x)^3 - 3(2x)^2(3)^1 + 3(2x)^1(3)^2 - 1(3)^3$$

Resolvemos potencias primero:

$$1(8x^3) - 3(4x^2)(3) + 3(2x)(9) - 27$$

Multiplicamos:

$$8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$$

Resultado:

$$\boxed{8x^3 - 36x^2 + 54x - 27}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Expande $(x + 1)^4$.

Ver solución

Razonamiento:
Coeficientes: 1, 4, 6, 4, 1.

$$x^4 + 4x^3(1) + 6x^2(1)^2 + 4x(1)^3 + 1^4$$

Resultado:

$$\boxed{x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1}$$

Ejercicio 2

Expande $(m - 2)^3$.

Ver solución

Razonamiento:
Coeficientes: 1, 3, 3, 1. Signos alternados.

$$m^3 - 3m^2(2) + 3m(2^2) - 2^3$$ $$m^3 - 6m^2 + 12m - 8$$

Resultado:

$$\boxed{m^3 - 6m^2 + 12m - 8}$$

Ejercicio 3

Expande $(2x + 3)^2$.

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Razonamiento:
Es un trinomio cuadrado perfecto.

$$(2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2$$

Resultado:

$$\boxed{4x^2 + 12x + 9}$$

Ejercicio 4

Expande $(x^2 + 1)^3$.

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Razonamiento:
$a = x^2$.

$$(x^2)^3 + 3(x^2)^2(1) + 3(x^2)(1)^2 + 1^3$$

Resultado:

$$\boxed{x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1}$$

Ejercicio 5

Expande $(3 - x)^3$.

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Razonamiento:

$$3^3 - 3(3^2)(x) + 3(3)(x^2) - x^3$$ $$27 - 27x + 9x^2 - x^3$$

Resultado:

$$\boxed{27 - 27x + 9x^2 - x^3}$$

Ejercicio 6

Calcula el valor de $\binom{6}{3}$.

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Razonamiento:

$$\frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \frac{120}{6} = 20$$

Resultado:

$$\boxed{20}$$

Ejercicio 7

Expande $(x + \frac{1}{x})^2$.

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Razonamiento:

$$x^2 + 2(x)(\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^2$$ $$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$$

Resultado:

$$\boxed{x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}}$$

Ejercicio 8

¿Cuántos términos tiene la expansión de $(a+b)^{12}$?

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Razonamiento:
El número de términos siempre es $n + 1$.

$$12 + 1 = 13$$

Resultado:

$$\boxed{13}$$

Ejercicio 9

Expande $(a - 1)^4$.

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Razonamiento:
Coeficientes: 1, 4, 6, 4, 1. Signos alternados.

$$a^4 - 4a^3(1) + 6a^2(1)^2 - 4a(1)^3 + 1^4$$

Resultado:

$$\boxed{a^4 - 4a^3 + 6a^2 - 4a + 1}$$

Ejercicio 10

Expande $(2 + y)^3$.

Ver solución

Razonamiento:

$$2^3 + 3(2)^2(y) + 3(2)(y)^2 + y^3$$ $$8 + 12y + 6y^2 + y^3$$

Resultado:

$$\boxed{8 + 12y + 6y^2 + y^3}$$

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🔑 Resumen

El Binomio de Newton convierte multiplicaciones tediosas en un proceso de sustitución simple y elegante.

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📌 Nota

Aprenderás a encontrar un término específico (sin desarrollar todo el binomio) cuando estudies el tema de Progresiones.