Logaritmos

"Logaritmo" es una palabra que asusta, pero en el fondo es algo muy simple: es un buscador de exponentes. Si la exponenciación es multiplicar, el logaritmo es preguntar "¿cuántas veces multipliqué?". Es el detective que averigua el tiempo en las fórmulas de crecimiento.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Que un logaritmo es solo un exponente disfrazado.
• Cómo pasar de forma exponencial ($2^3=8$) a logarítmica ($\log_2 8 = 3$).
• Calcular logaritmos mentalmente.
• Entender los logaritmos especiales: $\log$ (base 10) y $\ln$ (base $e$).

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🔍 La Pregunta Clave

Cuando veas esto:

$$\log_b(x)$$

Debes leerlo como una pregunta:
"¿A qué potencia debo elevar la base $b$ para obtener el número $x$?"

Ejemplo Conceptual

$$\log_2(8) = ?$$

Traducción: ¿Cuántas veces multiplico el 2 para llegar a 8?
$2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ (3 veces).

$$\log_2(8) = 3$$

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🔄 El Diccionario Bilingüe

La logaritmación y la exponenciación son dos formas de decir lo mismo.

$$\text{Logarítmica: } \log_{\text{base}}(\text{resultado}) = \text{exponente}$$ $$\text{Exponencial: } \text{base}^{\text{exponente}} = \text{resultado}$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Cálculo Mental

Calcular $\log_3(81)$.

Pregunta: ¿$3$ elevado a qué me da $81$?

• $3^1 = 3$
• $3^2 = 9$
• $3^3 = 27$
• $3^4 = 81$

Resultado:

$$\boxed{4}$$

Ejemplo 2: El Logaritmo de 1

Calcular $\log_7(1)$.

Pregunta: ¿$7$ elevado a qué me da $1$?
Sabemos que cualquier número elevado a 0 es 1.

Resultado:

$$\boxed{0}$$

Ejemplo 3: Base 10

Calcular $\log(100)$.
(Cuando no se escribe la base, asumimos base 10).

Pregunta: ¿$10$ elevado a qué me da $100$?
$10^2 = 100$.

Resultado:

$$\boxed{2}$$

Ejemplo 4: Fracciones

Calcular $\log_2(\frac{1}{8})$.

Pregunta: ¿$2$ elevado a qué da $\frac{1}{8}$?
Sabemos que $2^3 = 8$. Para que se invierta ($1/8$), el exponente debe ser negativo.

Resultado:

$$\boxed{-3}$$

Ejemplo 5: Incógnita en la Base

Si $\log_x(36) = 2$, ¿cuánto vale $x$?

Traducción: $x^2 = 36$.
¿Qué número al cuadrado es 36? (Base debe ser positiva).

Resultado:

$$\boxed{x = 6}$$

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🌟 Logaritmos Famosos

Logaritmo Común ($\log$)

Usa base 10. Es el de la escala Richter (terremotos) y el pH (química).

$$\log(1000) = 3 \quad (\text{que significa } 10^3)$$

Logaritmo Natural ($\ln$)

Usa base $e \approx 2.718$. Es el lenguaje de la naturaleza y el cálculo.

$$\ln(e) = 1 \quad (\text{que significa } e^1)$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Escribe $4^3 = 64$ en forma logarítmica.

Ver solución

$\log_4(64) = 3$.

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Ejercicio 2

Calcula $\log_5(125)$.

Ver solución

$5^3 = 125$.
Resultado: $\boxed{3}$

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Ejercicio 3

Calcula $\log_{10}(0.1)$.

Ver solución

$0.1 = 1/10 = 10^{-1}$.
Resultado: $\boxed{-1}$

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Ejercicio 4

Si $\log_2(x) = 5$, encuentra $x$.

Ver solución

$2^5 = x \implies x = 32$.
Resultado: $\boxed{32}$

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Ejercicio 5

Calcula $\log_9(3)$.

Ver solución

Razonamiento: $\sqrt{9} = 3 \implies 9^{1/2} = 3$.
Resultado: $\boxed{0.5 \text{ o } 1/2}$

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Ejercicio 6

Calcula $\ln(1)$.

Ver solución

¿$e$ elevado a qué da 1? Siempre es 0.
Resultado: $\boxed{0}$

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Ejercicio 7

Calcula $\log_4(2)$.

Ver solución

$\sqrt{4}=2$, o sea exponente $1/2$.
Resultado: $\boxed{0.5}$

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Ejercicio 8

¿Cuánto es $\log_b(b)$?

Ver solución

Siempre es 1.

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Ejercicio 9

Resuelve para $x$: $\log_x(16) = 4$.

Ver solución

$x^4 = 16$. ¿Qué número multiplicado 4 veces da 16? El 2.
Resultado: $\boxed{2}$

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Ejercicio 10

Calcula $\log(10,000,000)$.

Ver solución

Cuenta los ceros.
Resultado: $\boxed{7}$

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🔑 Resumen

Conclusión: El logaritmo no es mágico, es simplemente preguntar "¿cuál es el exponente?". Es la operación inversa a potenciar, igual que restar es lo inverso a sumar.