Funciones Exponenciales

¿Alguna vez has escuchado que algo "creció exponencialmente"? Usamos esa frase para decir "muy rápido", pero matemáticamente significa algo más preciso: crecimiento por multiplicación constante. Desde los virus hasta los intereses de tu tarjeta de crédito, el mundo funciona con exponentes.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Diferenciar crecimiento lineal (suma) de exponencial (multiplicación).
• La anatomía de la fórmula $y = a \cdot b^x$.
• Cómo modelar poblaciones, bacterias y dinero.
• Distinguir crecimientos explosivos de decaimientos rápidos.

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🦠 El Experimento Mental

Imagina dos ofertas de trabajo:

1. Oferta A: Te pagan 1 millón de pesos al día durante 30 días. Total: $30.000.000$.
2. Oferta B: Te pagan 1 peso el primer día, 2 el segundo, 4 el tercero... duplicando cada día durante 30 días.

¿Cuál eliges?
La Oferta B te daría más de 500 millones de pesos. Eso es el poder exponencial.

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🏗️ La Fórmula General

Una función exponencial se ve así:

$$f(x) = a \cdot b^x$$

Donde:

• $a$ (Inicio): Es la cantidad inicial (cuando $x=0$).
• $b$ (Base): Es el factor de crecimiento.
  • Si $b > 1$: Crece explosivamente.
  • Si $0 < b < 1$: Decrece (se achica) rápidamente.
• $x$ (Tiempo): El número de periodos que pasan.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Bacterias en el Laboratorio

Empiezas con 100 bacterias que se triplican cada hora.

1. Identificar partes:

• Inicio ($a$): 100
• Base ($b$): 3 (se triplican)

2. Fórmula:

$$B(t) = 100 \cdot 3^t$$

3. Predicción:
¿Cuántas habrá en 4 horas?

$$B(4) = 100 \cdot 3^4$$ $$B(4) = 100 \cdot 81 = 8100 \text{ bacterias}$$

Resultado:

$$\boxed{8100 \text{ bacterias}}$$

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Ejemplo 2: El Auto Nuevo (Depreciación)

Compras un auto por 20.000.000 de pesos. Cada año pierde el 10% de su valor (o sea, conserva el 90%).

1. Identificar partes:

• Inicio ($a$): 20.000.000
• Base ($b$): 0.90 (el 90% que queda)

2. Fórmula:

$$V(t) = 20.000.000 \cdot (0.9)^t$$

3. Predicción:
¿Valor en 5 años?

$$V(5) = 20.000.000 \cdot (0.9)^5$$ $$V(5) = 20.000.000 \cdot 0.59049 \approx 11.809.800$$

Resultado:

$$\boxed{11.809.800 \text{ pesos}}$$

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Ejemplo 3: ¿Crece o Decrece?

Analiza $f(x) = 500 \cdot (1.05)^x$.

Razonamiento:
Miramos la base $b = 1.05$.
Como $1.05 > 1$, la función crece.
De hecho, crece un 5% en cada paso (el 0.05 extra).

Resultado:

$$\boxed{\text{Crece}}$$

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Ejemplo 4: El Papel Doblado

Si doblas una hoja de papel (grosor 0.1 mm) por la mitad 42 veces, ¿qué tan gruesa sería?

Fórmula:

$$G(n) = 0.1 \cdot 2^n$$ $$G(42) = 0.1 \cdot 2^{42} \approx 439.804.651.110 \text{ mm}$$

¡Eso es 439.804 km! (Más que la distancia a la Luna).

Resultado:

$$\boxed{\approx 440.000 \text{ km}}$$

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Ejemplo 5: Gráfica Básica

Graficar $y = 2^x$.

Calculamos puntos:

• $x=0 \implies y = 2^0 = 1$ (Punto $0,1$)
• $x=1 \implies y = 2^1 = 2$ (Punto $1,2$)
• $x=2 \implies y = 2^2 = 4$ (Punto $2,4$)
• $x=-1 \implies y = 2^{-1} = 0.5$ (Punto $-1, 0.5$)

La curva nunca toca el eje X (asíntota horizontal), pero sube rapidísimo a la derecha.

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Si tienes 5 conejos y se duplican cada mes, escribe la función.

Ver solución

$a=5, b=2$.
Resultado: $\boxed{f(x) = 5 \cdot 2^x}$

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Ejercicio 2

Calcula $3 \cdot 2^4$.

Ver solución

$3 \cdot 16 = 48$.
Resultado: $\boxed{48}$

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Ejercicio 3

¿La función $y = 100 \cdot (0.8)^x$ representa crecimiento o decrecimiento?

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Decrecimiento ($0.8 < 1$).

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Ejercicio 4

Si una población crece al 15% anual, ¿cuál es su base $b$?

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$100\% + 15\% = 115\% = 1.15$.
Resultado: $\boxed{1.15}$

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Ejercicio 5

Evalúa $f(x) = 10 \cdot 3^{x}$ para $x=2$.

Ver solución

$10 \cdot 9 = 90$.
Resultado: $\boxed{90}$

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Ejercicio 6

Una sustancia radiactiva se reduce a la mitad cada día. Inicio: 80g.

Ver solución

$f(x) = 80 \cdot (0.5)^x$.

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Ejercicio 7

¿Cuánto es $5^0$?

Ver solución

Todo número elevado a 0 es 1.
Resultado: $\boxed{1}$

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Ejercicio 8

En la función $y = 50 \cdot 2^x$, ¿qué representa el 50?

Ver solución

El valor inicial.

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Ejercicio 9

Si inviertes 100 pesos al 100% de interés anual compuesto, ¿base?

Ver solución

$1 + 1 = 2$. Se duplica.
Resultado: $\boxed{b=2}$

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Ejercicio 10

Predice el valor siguiente en la secuencia: $3, 6, 12, 24, \dots$

Ver solución

Se multiplica por 2.
Resultado: $\boxed{48}$

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🔑 Resumen

Conclusión: La función exponencial es el motor detrás de las pandemias, las inversiones y las explosiones demográficas. Es la forma en que la naturaleza se multiplica.