Resolución de Ecuaciones Cuadráticas

¿Recuerdas cuando $x$ valía solo una cosa? Bueno, en el mundo cuadrático, $x$ suele tener doble personalidad. Resolver una ecuación como $x^2 = 9$ significa encontrar todos los números que al cuadrado den 9 (¡3 y -3!). Aquí aprenderás las tres herramientas maestras: factorizar, completar el cuadrado y la famosa fórmula general.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Qué significa "raíz" o "cero" de una ecuación.
• Factorizar trinomios para encontrar soluciones rápidas.
• Usar la fórmula general "la vieja confiable".
• Saber cuántas soluciones tiene una ecuación con el discriminante.

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🔍 ¿Qué estamos buscando?

Resolver $ax^2 + bx + c = 0$ es encontrar los valores de $x$ donde la parábola corta al eje horizontal (eje $X$).

• Dos cortes: La ecuación tiene 2 soluciones reales.

  

• Un corte: La ecuación tiene 1 solución real (el vértice toca el eje).

  

• Cero cortes: La parábola flota sobre (o bajo) el eje. No hay solución real.

  

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🛠️ Método 1: Factorización

La herramienta más rápida. Si $A \cdot B = 0$, entonces obligatoriamente $A=0$ o $B=0$.

Ejemplo 1: Trinomio Simple

Resolver $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Paso 1: Factorizar
Buscamos dos números que multiplicados den 6 y sumados den -5.
¡Son -2 y -3!

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

Paso 2: Igualar a cero

• $x - 2 = 0 \implies x = 2$
• $x - 3 = 0 \implies x = 3$

Resultado:

$$\boxed{x = 2, \quad x = 3}$$

Ejemplo 2: Diferencia de Cuadrados

Resolver $x^2 - 9 = 0$.

Paso 1: Factorizar

$$(x - 3)(x + 3) = 0$$

Paso 2: Igualar

• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $x + 3 = 0 \implies x = -3$

Resultado:

$$\boxed{x = 3, \quad x = -3}$$

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🧪 Método 2: Fórmula General

Cuando no se puede factorizar fácil, usamos la "fórmula del estudiante":

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Ejemplo 3: No factorizable

Resolver $2x^2 + 5x - 3 = 0$.

Datos: $a=2, b=5, c=-3$.

Sustitución:

$$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)}$$ $$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}$$ $$x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4}$$

Dos caminos:

1. $x_1 = (-5 + 7)/4 = 2/4 = 0.5$
2. $x_2 = (-5 - 7)/4 = -12/4 = -3$

Resultado:

$$\boxed{x = 0.5, \quad x = -3}$$

Ejemplo 4: Raíces no exactas

Resolver $x^2 - 4x + 1 = 0$.

Sustitución:

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(1)}}{2}$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$$

Como $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$:

$$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$$

Resultado:

$$\boxed{x \approx 3.73, \quad x \approx 0.27}$$

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🔮 El Discriminante ($\Delta$)

Lo que está dentro de la raíz ($b^2 - 4ac$) nos dice el futuro:

• $\Delta > 0$: Dos soluciones reales.
• $\Delta = 0$: Una solución real (repetida).
• $\Delta < 0$: Cero soluciones reales (la raíz de un negativo no existe en los reales).

Ejemplo 5: Solución Única

Resolver $x^2 - 6x + 9 = 0$.

$$\Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$$ $$x = \frac{6 \pm 0}{2} = 3$$

Resultado:

$$\boxed{x = 3}$$

Ejemplo 6: Sin Solución

Resolver $x^2 + x + 1 = 0$.

$$\Delta = (1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$$

Como $\sqrt{-3}$ no es real:

Resultado:

$$\boxed{\text{No tiene solución real}}$$

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🏛️ Método 3: Completar el Cuadrado

Transformamos el trinomio en un cuadrado perfecto $(x+k)^2$.

Ejemplo 7

Resolver $x^2 + 6x + 5 = 0$.

1. Mover el término $c$: $x^2 + 6x = -5$.
2. Sumar $(b/2)^2$: $(6/2)^2 = 9$. $$x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$$
3. Factorizar: $$(x + 3)^2 = 4$$
4. Sacar raíz: $$x + 3 = \pm 2$$
5. Despejar:
   • $x = -3 + 2 = -1$
   • $x = -3 - 2 = -5$

Resultado:

$$\boxed{x = -1, \quad x = -5}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Resuelve $x^2 - 7x + 12 = 0$ factorizando.

Ver solución

Dos números que multiplicados den 12 y sumados -7: -3 y -4.
$(x-3)(x-4)=0$.
Resultado: $\boxed{3, 4}$

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Ejercicio 2

Resuelve $3x^2 = 27$ despejando.

Ver solución

$x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.
Resultado: $\boxed{3, -3}$

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Ejercicio 3

Calcula el discriminante de $x^2 - 2x + 10 = 0$.

Ver solución

$\Delta = (-2)^2 - 4(1)(10) = 4 - 40 = -36$.
Resultado: $\boxed{-36 \text{ (Sin solución)}}$

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Ejercicio 4

Resuelve $x^2 + 5x = 0$ factorizando $x$.

Ver solución

$x(x + 5) = 0$.
Resultado: $\boxed{0, -5}$

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Ejercicio 5

Resuelve $x^2 + 2x - 8 = 0$ con fórmula general.

Ver solución

$\frac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$.
Resultado: $\boxed{2, -4}$

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Ejercicio 6

Resuelve $(x-2)^2 = 25$.

Ver solución

$x-2 = \pm 5$.
$x = 7$ o $x = -3$.
Resultado: $\boxed{7, -3}$

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Ejercicio 7

Encuentra las raíces de $2x^2 + 8x + 8 = 0$.

Ver solución

Simplifica entre 2: $x^2 + 4x + 4 = 0$.
$(x+2)^2 = 0$.
Resultado: $\boxed{-2}$

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Ejercicio 8

¿Cuántas soluciones tiene $5x^2 - 3x + 1 = 0$?

Ver solución

$\Delta = 9 - 20 = -11$.
Resultado: $\boxed{0}$

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Ejercicio 9

Resuelve $x^2 + 9 = 0$.

Ver solución

$x^2 = -9$. Raíz de negativo.
Resultado: $\boxed{\text{Sin Solución Real}}$

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Ejercicio 10

Resuelve $x^2 - x - 2 = 0$.

Ver solución

$(x-2)(x+1) = 0$.
Resultado: $\boxed{2, -1}$

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🔑 Resumen

Conclusión: No todas las ecuaciones tienen solución, y algunas tienen dos. Aprender a leer el discriminante te evitará buscar soluciones fantasma.