Trapecio

Imagina un triángulo al que le cortaron la punta superior con un corte paralelo a la base. Lo que queda es un trapecio. Es una figura fundamental en puentes, techos y herramientas.

---

🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Reconocer las partes de un trapecio (bases y lados laterales).
• Clasificar trapecios en isósceles, rectángulos y escalenos.
• Calcular la "Base Media" (el promedio de las bases).
• Calcular áreas de trapecios.
• Resolver problemas de ángulos entre paralelas.

---

📐 Definición y Elementos

Un trapecio es un cuadrilátero que tiene exactamente un par de lados paralelos.

Anatomía

1. Bases: Son los dos lados paralelos. Normalmente hay una Base Mayor ($B$) y una Base Menor ($b$).
2. Lados Laterales: Son los dos lados no paralelos.
3. Altura ($h$): Es la distancia perpendicular que separa a las dos bases.

---

🔄 Tipos de Trapecios

1. Trapecio Isósceles

Sus lados laterales tienen la misma longitud. Como resultado:

• Es simétrico respecto a un eje vertical.
• Los ángulos de cada base son iguales entre sí.
• Sus diagonales son iguales.

Ejemplo 1: Ángulos en Trapecio Isósceles

Si un ángulo de la base de un trapecio isósceles mide $75^\circ$, ¿cuánto mide el otro ángulo de la misma base?

Por la simetría del trapecio isósceles, los ángulos de la misma base son iguales.

Resultado:

$$\boxed{75^\circ}$$

---

2. Trapecio Rectángulo

Uno de sus lados laterales es perpendicular a las bases.

• Tiene dos ángulos rectos ($90^\circ$) sobre el lado perpendicular.
• Los otros dos ángulos son conjugados (suman $180^\circ$).

Ejemplo 2: Ángulos en Trapecio Rectángulo

En un trapecio rectángulo, un ángulo agudo mide $50^\circ$. ¿Cuánto mide su ángulo obtuso adyacente?

Los ángulos no rectos están sobre el lado inclinado y son conjugados (suman $180^\circ$).

Razonamiento:

$$x + 50^\circ = 180^\circ$$ $$x = 130^\circ$$

Resultado:

$$\boxed{130^\circ}$$

3. Trapecio Escaleno

Sus lados laterales son de diferente longitud y no tiene ángulos rectos. Es el trapecio más común e irregular.

Ejemplo 3: Identificación

En un trapecio escaleno, si un lado lateral mide 5 cm y el otro 8 cm, ¿pueden ser iguales sus ángulos basales?

Resultado: No, ya que no tiene simetría lateral.

---

---

📏 Propiedades Importantes

1. Ángulos Conjugados

Los ángulos que están sobre el mismo lado lateral siempre suman $180^\circ$ porque las bases son paralelas.

$$\alpha + \delta = 180^\circ$$

Ejemplo 4: Hallar el Ángulo Suplementario

Si el ángulo inferior de un lado lateral mide $110^\circ$, ¿cuánto mide el superior?

Los ángulos sobre un mismo lado son conjugados (suman $180^\circ$).

Razonamiento:

$$x = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$

Resultado:

$$\boxed{70^\circ}$$

---

2. Base Media o Mediana ($m$)

Es el segmento que une los puntos medios de los lados laterales. Su longitud es exactamente el promedio de las dos bases.

$$m = \frac{B + b}{2}$$

Ejemplo 5: Cálculo de la Mediana

Un trapecio tiene bases de 25 cm y 15 cm. ¿Cuál es su base media?

Aplicamos la fórmula de la base media.

Razonamiento:

$$m = \frac{25 + 15}{2} = \frac{40}{2} = 20$$

Resultado:

$$\boxed{20 \text{ cm}}$$

---

3. Área ($A$)

El área es el producto de la base media por la altura. Es como convertir el trapecio en un rectángulo equivalente.

$$A = \frac{B + b}{2} \cdot h$$

Ejemplo 6: Cálculo del Área

Un trapecio tiene base mayor 10 cm, base menor 6 cm y altura 4 cm. Calcula su área.

Usamos la fórmula del área del trapecio.

Razonamiento:

$$A = \frac{10 + 6}{2} \cdot 4$$ $$A = \frac{16}{2} \cdot 4 = 8 \cdot 4$$

Resultado:

$$\boxed{32 \text{ cm}^2}$$

---

📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Calcula la base media de un trapecio con bases de 15 m y 25 m.

Ver solución

Razonamiento:
Es el promedio.

$$m = \frac{15 + 25}{2} = \frac{40}{2}$$

Resultado:

$$\boxed{20 \text{ m}}$$

Ejercicio 2

El área de un trapecio es 100 cm² y su altura es 10 cm. ¿Cuánto suman sus bases?

Ver solución

Razonamiento:

$$100 = \frac{B+b}{2} \cdot 10$$ $$100 = (B+b) \cdot 5$$ $$B+b = \frac{100}{5}$$

Resultado:

$$\boxed{20 \text{ cm}}$$

Ejercicio 3

En un trapecio isósceles, un ángulo de la base mayor mide $60^\circ$. ¿Cuánto mide un ángulo de la base menor?

Ver solución

Razonamiento:
Ángulos sobre el mismo lado suman $180^\circ$.

$$x = 180^\circ - 60^\circ$$

Resultado:

$$\boxed{120^\circ}$$

Ejercicio 4

Calcula el área de un trapecio donde la base media mide 8 cm y la altura 5 cm.

Ver solución

Razonamiento:
La fórmula es Base Media $\times$ Altura.

$$A = 8 \cdot 5$$

Resultado:

$$\boxed{40 \text{ cm}^2}$$

Ejercicio 5

Calcula el perímetro de un trapecio isósceles con bases 4 y 10, y altura 4.
(Pista: Usa Pitágoras para hallar el lado lateral).

Ver solución

Razonamiento:
La diferencia de bases es $10-4=6$.
Como es isósceles, sobra 3 a cada lado.

Se forma un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 (altura).
Hipotenusa (lado lateral) = 5 (Terna 3-4-5).
Perímetro = $10 + 4 + 5 + 5$.

Resultado:

$$\boxed{24}$$

Ejercicio 6

Si la base mayor es el doble de la menor ($B = 2b$) y la base media es 15, halla las bases.

Ver solución

Razonamiento:

$$\frac{2b + b}{2} = 15$$ $$3b = 30$$ $$b = 10 \implies B = 20$$

Resultado:

$$\boxed{b=10, B=20}$$

Ejercicio 7

Calcula el área de un trapecio rectángulo con bases 4 y 7, y el lado perpendicular de 4.

Ver solución

Razonamiento:
El lado perpendicular ES la altura.

$$A = \frac{4+7}{2} \cdot 4$$ $$A = 5.5 \cdot 4$$

Resultado:

$$\boxed{22}$$

Ejercicio 8

¿Todo trapecio tiene diagonales iguales?

Ver solución

Respuesta:
Calcula diagonales de un trapecio rectángulo: son distintas.
Solo el isósceles las tiene iguales.

Resultado:

$$\boxed{\text{Falso, solo el isósceles}}$$

Ejercicio 9

Si en un trapecio los lados no paralelos se extienden hasta cortarse, ¿qué figura se forma junto con la base mayor?

Ver solución

Razonamiento:
Al extender los lados, se cierra la figura en un punto.

Resultado:

$$\boxed{\text{Un triángulo}}$$

Ejercicio 10

Un trapecio tiene vértices en $(0,0)$, $(5,0)$, $(4,3)$, $(1,3)$. Clasifícalo.

Ver solución

Razonamiento:
Base mayor en eje X: longitud 5.
Base menor arriba: de $x=1$ a $x=4$, longitud 3. Altura 3.
Lado izquierdo: de $(0,0)$ a $(1,3)$.
Lado derecho: de $(5,0)$ a $(4,3)$.
Ambos lados laterales suben 3 y se mueven 1 hacia adentro. Son simétricos.

Resultado:

$$\boxed{\text{Trapecio Isósceles}}$$

---

🔑 Resumen

El trapecio es el puente entre los rectángulos y los triángulos.