Teorema de Pitágoras

Si las matemáticas tuvieran celebridades, el Teorema de Pitágoras sería la estrella más famosa. Es esa ecuación que todo el mundo recuerda: la suma de los cuadrados de los lados cortos es igual al cuadrado del lado largo. Pero más allá de la fama, es la herramienta fundamental para calcular distancias en diagonal, desde la construcción de pirámides hasta el desarrollo de videojuegos modernos.

---

🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Identificar quién es quién: Hipotenusa vs. Catetos.
• Aplicar la fórmula $a^2 + b^2 = c^2$ para solucionar problemas.
• Calcular la hipotenusa (el lado largo) sumando áreas.
• Calcular un cateto (el lado corto) restando áreas.
• Reconocer ternas pitagóricas para calcular mentalmente.

---

📐 Identificando los Lados

El teorema SOLO funciona en triángulos rectángulos (los que tienen una esquina perfecta de 90° o forma de "L").

1. Hipotenusa ($c$):

   • Es el lado más largo.
   • Está siempre frente al ángulo recto.
   • Es como la rampa o el tobogán del triángulo.

2. Catetos ($a$ y $b$):

   • Son los dos lados más cortos.
   • Son los que forman el ángulo recto (la "L").

---

---

🔑 La Fórmula Clave

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

$$c^2 = a^2 + b^2$$

¿Cómo usarla?

Todo depende de qué lado te falte.

Caso 1: Buscas la Hipotenusa ($c$)
Como buscas el lado más grande, SUMAS.

$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Caso 2: Buscas un Cateto ($a$ o $b$)
Como buscas un lado más pequeño, tienes que RESTAR a la hipotenusa.

$$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$ $$b = \sqrt{c^2 - a^2}$$

---

⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Hallando la Hipotenusa

Tienes un triángulo con catetos de 3 cm y 4 cm. ¿Cuánto mide su diagonal (hipotenusa)?

Datos:
$a = 3$
$b = 4$
$c = ?$

Razonamiento:
Usamos la fórmula de suma.

$$c = \sqrt{3^2 + 4^2}$$ $$c = \sqrt{9 + 16}$$ $$c = \sqrt{25}$$

Resultado:

$$\boxed{5 \text{ cm}}$$

---

Ejemplo 2: Hallando un Cateto

Una escalera de 10 m (hipotenusa) está apoyada en una pared. Si la base está a 6 m de la pared, ¿a qué altura llega?

Datos:
$c = 10$ (Escalera/Hipotenusa)
$b = 6$ (Base/Cateto)
$a = ?$ (Altura/Cateto)

Razonamiento:
Como buscamos un cateto, usamos la resta.

$$a = \sqrt{10^2 - 6^2}$$ $$a = \sqrt{100 - 36}$$ $$a = \sqrt{64}$$

Resultado:

$$\boxed{8 \text{ m}}$$

---

Ejemplo 3: La Diagonal de televisión

Una pantalla de 50 pulgadas (diagonal) tiene un ancho de 40 pulgadas. ¿Cuál es su altura?

Razonamiento:
La diagonal es la hipotenusa. El ancho es un cateto. Buscamos el otro cateto.

$$h = \sqrt{50^2 - 40^2}$$ $$h = \sqrt{2500 - 1600}$$ $$h = \sqrt{900}$$

Resultado:

$$\boxed{30 \text{ pulgadas}}$$

---

📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 cm y 12 cm.

Ver solución

Razonamiento:

$$c = \sqrt{5^2 + 12^2}$$ $$c = \sqrt{25 + 144}$$ $$c = \sqrt{169}$$

Resultado:

$$\boxed{13 \text{ cm}}$$

Ejercicio 2

Si la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 9 cm, ¿cuánto mide el otro cateto?

Ver solución

Razonamiento:
Usamos resta.

$$b = \sqrt{15^2 - 9^2}$$ $$b = \sqrt{225 - 81}$$ $$b = \sqrt{144}$$

Resultado:

$$\boxed{12 \text{ cm}}$$

Ejercicio 3

¿Es posible formar un triángulo rectángulo con lados de 2, 3 y 4 metros? (Verifícalo).

Ver solución

Razonamiento:
Comprobamos si $2^2 + 3^2 = 4^2$.

$$4 + 9 = 13$$ $$4^2 = 16$$ $$13 \neq 16$$

Resultado:

$$\boxed{\text{No es rectángulo}}$$

Ejercicio 4

Calcula la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1 metro.

Ver solución

Razonamiento:

$$d = \sqrt{1^2 + 1^2}$$ $$d = \sqrt{1 + 1}$$ $$d = \sqrt{2}$$

Resultado:

$$\boxed{\approx 1.41 \text{ m}}$$

Ejercicio 5

Un barco navega 8 km al Norte y luego 6 km al Este. ¿A qué distancia en línea recta se encuentra del puerto de salida?

Ver solución

Razonamiento:

$$d = \sqrt{8^2 + 6^2}$$ $$d = \sqrt{64 + 36}$$ $$d = \sqrt{100}$$

Resultado:

$$\boxed{10 \text{ km}}$$

Ejercicio 6

Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 2 cm.

Ver solución

Razonamiento:
La altura divide la base en dos (1 cm y 1 cm).
Se forma un triángulo rectángulo con hipotenusa 2 y cateto base 1.

$$h = \sqrt{2^2 - 1^2}$$ $$h = \sqrt{4 - 1}$$

Resultado:

$$\boxed{\sqrt{3} \approx 1.73 \text{ cm}}$$

Ejercicio 7

Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo es $\sqrt{10}$ y un cateto es 1, halla el otro cateto.

Ver solución

Razonamiento:

$$x = \sqrt{(\sqrt{10})^2 - 1^2}$$ $$x = \sqrt{10 - 1}$$ $$x = \sqrt{9}$$

Resultado:

$$\boxed{3}$$

Ejercicio 8

¿Cuál es la longitud de la hipotenusa en un triángulo con catetos iguales de 5 cm?

Ver solución

Razonamiento:

$$c = \sqrt{5^2 + 5^2}$$ $$c = \sqrt{25 + 25}$$ $$c = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2}$$

Resultado:

$$\boxed{5\sqrt{2} \text{ cm}}$$

Ejercicio 9

Comprueba si los números (8, 15, 17) forman una terna pitagórica.

Ver solución

Razonamiento:

$$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$ $$17^2 = 289$$

Resultado:

$$\boxed{\text{Sí, lo son}}$$

Ejercicio 10

Una puerta rectangular mide 2 metros de alto y 1 metro de ancho. ¿Pasará un tablero de madera de 2.20 metros de diámetro por la diagonal?

Ver solución

Razonamiento:
Calculamos la diagonal de la puerta.

$$D = \sqrt{2^2 + 1^2}$$ $$D = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$ $$D \approx 2.236 \text{ m}$$

Como $2.236 > 2.20$, el tablero pasa.

Resultado:

$$\boxed{\text{Sí pasa}}$$

---

🔑 Resumen

Recuerda: La hipotenusa es egoísta, quiere todo el espacio, por eso suma. Los catetos son modestos, si buscas uno, tienes que restar.