Potencias de i

Imagina un reloj que solo tiene 4 horas. Cada vez que multiplicas por $i$, la aguja avanza una hora. Después de 4 veces, vuelves al principio. Este comportamiento cíclico hace que calcular potencias enormes (como $i^{2000}$) sea increíblemente fácil si conoces el secreto del número 4.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• El ciclo de 4 pasos de las potencias de $i$.
• Cómo calcular cualquier potencia positiva ($i^n$).
• Cómo calcular potencias negativas ($i^{-n}$).
• Patrones interesantes en sumas de potencias consecutivas.

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🔄 El Ciclo de 4 Pasos

Empecemos multiplicando $i$ por sí mismo varias veces:

1. Uno: $i^1 = i$
2. Dos: $i^2 = -1$ (Por definición)
3. Tres: $i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i$
4. Cuatro: $i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1)(-1) = 1$

¡Si seguimos, se repite!

• $i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$ (Igual a $i^1$)
• $i^6 = i^4 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$ (Igual a $i^2$)

La Tabla Maestra

Todo depende del residuo (lo que sobra) al dividir el exponente entre 4:

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Exponente Grande

Calcula $i^{53}$.

Razonamiento:
Dividimos 53 entre 4.
$53 = 13 \times 4 + 1$.
El residuo es 1.

Cálculo:

$$i^{53} = i^1 = i$$

Resultado:

$$\boxed{i}$$

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Ejemplo 2: Exponente Exacto

Calcula $i^{100}$.

Razonamiento:
100 es múltiplo de 4 ($25 \times 4$). El residuo es 0.

Cálculo:

$$i^{100} = i^0 = i^4 = 1$$

Resultado:

$$\boxed{1}$$

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Ejemplo 3: Potencia Negativa

Calcula $i^{-3}$.

Razonamiento:
Recordemos que $x^{-n} = 1/x^n$.

$$i^{-3} = \frac{1}{i^3}$$

Sustituimos $i^3 = -i$.

$$\frac{1}{-i}$$

Para eliminar la $i$ del denominador, multiplicamos por $i/i$:

$$\frac{1 \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{-(-1)} = \frac{i}{1} = i$$

Resultado:

$$\boxed{i}$$

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Ejemplo 4: Suma de Potencias

Calcula $i^{10} + i^{12}$.

Paso 1: Simplificar cada una

• $10 \div 4 \rightarrow$ Residuo 2. Así que $i^{10} = i^2 = -1$.
• $12 \div 4 \rightarrow$ Residuo 0. Así que $i^{12} = i^4 = 1$.

Paso 2: Sumar

$$-1 + 1$$

Resultado:

$$\boxed{0}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Calcula $i^{22}$.

Ver solución

$22 \div 4$ da residuo 2.

$$i^{22} = i^2 = -1$$

Resultado:

$$\boxed{-1}$$

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Ejercicio 2

Calcula $i^{33}$.

Ver solución

$33 \div 4$ da residuo 1.

$$i^{33} = i^1 = i$$

Resultado:

$$\boxed{i}$$

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Ejercicio 3

Calcula $i^{103}$.

Ver solución

$103 \div 4$ da residuo 3.

$$i^{103} = i^3 = -i$$

Resultado:

$$\boxed{-i}$$

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Ejercicio 4

Calcula $i^{80}$.

Ver solución

80 es múltiplo exacto de 4 (residuo 0).

$$i^{80} = 1$$

Resultado:

$$\boxed{1}$$

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Ejercicio 5

Simplifica $i^{4n + 3}$ (donde $n$ es entero).

Ver solución

$i^{4n} \cdot i^3 = (i^4)^n \cdot i^3 = 1^n \cdot (-i) = -i$.

Resultado:

$$\boxed{-i}$$

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Ejercicio 6

Calcula $i^{-1}$.

Ver solución

$$\frac{1}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$$

Resultado:

$$\boxed{-i}$$

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Ejercicio 7

Calcula $i^6 \cdot i^7$.

Ver solución

Propiedad de potencias: $i^{6+7} = i^{13}$.
$13 \div 4$ da residuo 1.

Resultado:

$$\boxed{i}$$

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Ejercicio 8

Calcula $(2i)^3$.

Ver solución

$$2^3 \cdot i^3 = 8 \cdot (-i) = -8i$$

Resultado:

$$\boxed{-8i}$$

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Ejercicio 9

Simplifica $i^{2023}$.

Ver solución

$2023 \div 4$. Observamos los últimos dos dígitos (23).
$23 \div 4$ da residuo 3.

$$i^{2023} = i^3 = -i$$

Resultado:

$$\boxed{-i}$$

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Ejercicio 10

Suma: $i + i^2 + i^3 + i^4$.

Ver solución

$$i + (-1) + (-i) + 1 = 0$$

Resultado:

$$\boxed{0}$$

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🔑 Resumen

Conclusión: Cualquier potencia de $i$, por gigante que sea, siempre será uno de estos cuatro resultados: $1, i, -1, -i$.