Módulo de un Número Complejo

El módulo es simplemente una forma elegante de preguntar: "¿Qué tan lejos está este número del cero?". Geométricamente, es la longitud de la flecha que representa al número complejo. Como siempre formamos un triángulo rectángulo con los ejes, ¡Pitágoras viene al rescate!

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Qué representa el módulo ($|z|$) gráficamente.
• Qué representa el módulo ($|z|$) gráficamente.
• Cómo calcular el módulo usando el Teorema de Pitágoras.
• La relación entre módulo, número y conjugado.
• Propiedades clave (siempre es positivo).

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📏 La Fórmula del Módulo

Para un número complejo $z = a + bi$, el módulo se denota $|z|$ y se calcula como:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Nota: Tomamos $a$ y $b$ (los números reales). No incluyas la $i$ dentro de la raíz.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Módulo Estándar

Calcula el módulo de:

$$z = 3 + 4i$$

Razonamiento:

1. Identificamos componentes:

$$a = 3$$ $$b = 4$$

2. Usamos Pitágoras:

$$|z| = \sqrt{3^2 + 4^2}$$ $$|z| = \sqrt{9 + 16}$$ $$|z| = \sqrt{25}$$

Resultado:

$$\boxed{5}$$

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Ejemplo 2: Módulo con Negativos

Calcula el módulo de:

$$|5 - 12i|$$

Razonamiento:

1. Identificamos componentes:

$$a = 5$$ $$b = -12$$

2. Al elevar al cuadrado, el negativo desaparece:

$$(-12)^2 = 144$$

3. Calculamos la raíz:

$$\sqrt{5^2 + (-12)^2}$$ $$\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169}$$

Resultado:

$$\boxed{13}$$

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Ejemplo 3: Módulo de Imaginario Puro

Calcula:

$$|-3i|$$

Razonamiento:

Es el punto $(0, -3)$. La distancia al cero es simplemente 3. Usando la fórmula:

$$a = 0$$ $$b = -3$$ $$\sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9}$$

Resultado:

$$\boxed{3}$$

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Ejemplo 4: Módulo con Raíces

Calcula:

$$|1 + i|$$

Razonamiento:

$$a = 1$$ $$b = 1$$ $$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1}$$

Resultado:

$$\boxed{\sqrt{2}}$$

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💎 Propiedad Importante

Multiplicar un número por su conjugado nos da el módulo al cuadrado:

$$z \cdot \bar{z} = |z|^2$$

Ejemplo 5: Verificación

Para $z = 3 + 4i$, ya vimos que $|z| = 5$, por lo que:

$$|z|^2 = 25$$

Veamos el producto con el conjugado:

$$(3 + 4i)(3 - 4i) = 3^2 + 4^2$$ $$9 + 16 = 25$$

¡Coinciden!

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejemplo 1

Calcula:

$$|6 + 8i|$$

Ver solución

$$\sqrt{6^2 + 8^2}$$ $$\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100}$$

Resultado:

$$\boxed{10}$$

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Ejemplo 2

Calcula:

$$|-2 + 5i|$$

Ver solución

$$\sqrt{(-2)^2 + 5^2}$$ $$\sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$$

Resultado:

$$\boxed{\sqrt{29}}$$

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Ejemplo 3

Calcula:

$$|4i|$$

Ver solución

Distancia directa es 4 unidades sobre el eje imaginario.

Resultado:

$$\boxed{4}$$

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Ejemplo 4

Calcula:

$$|-7|$$

Ver solución

Distancia directa (valor absoluto) es 7 unidades sobre el eje real.

Resultado:

$$\boxed{7}$$

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Ejemplo 5

Calcula:

$$|3 - 3i|$$

Ver solución

$$\sqrt{3^2 + (-3)^2}$$ $$\sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

Resultado:

$$\boxed{3\sqrt{2}}$$

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Ejemplo 6

Calcula:

$$|1 - \sqrt{3}i|$$

Ver solución

$$\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}$$ $$\sqrt{1 + 3} = \sqrt{4}$$

Resultado:

$$\boxed{2}$$

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Ejemplo 7

Calcula el módulo de:

$$z = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i$$

Ver solución

$$\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2}$$ $$\sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}}$$

Resultado:

$$\boxed{1}$$

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Ejemplo 8

Si $|z| = 3$, ¿cuánto vale $|z|^2$?

Ver solución

$$3^2 = 9$$

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Ejemplo 9

Calcula:

$$|2i - 2|$$

Ver solución

Ordenado es $-2 + 2i$.

$$\sqrt{(-2)^2 + 2^2}$$ $$\sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

Resultado:

$$\boxed{2\sqrt{2}}$$

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Ejemplo 10

¿Es posible que el módulo sea negativo?

Ver solución

No. Es una distancia geométrica, por lo tanto siempre es:

$$|z| \geq 0$$

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🔑 Resumen

Conclusión: El módulo ignora los signos negativos y la $i$; solo le importa la magnitud pura de las componentes.