División de Fracciones Algebraicas

¿Sabías que dividir fracciones no requiere realmente una "división" tradicional? El secreto está en multiplicar, pero de una forma especial: en cruz. Es como tejer una trenza: el numerador de la primera se une con el denominador de la segunda, y viceversa. Este método directo te ahorrará pasos y confusiones.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• El método de la multiplicación en cruz (zig-zag).
• Por qué ya no necesitas "darle la vuelta" a nada.
• A simplificar divisiones complejas con polinomios.
• Cómo manejar enteros dentro de una división de fracciones.

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🔍 El Método de la Multiplicación en Cruz

Para dividir dos fracciones, multiplicamos los términos en forma de X o zig-zag.

La Regla de Oro:

$$\boxed{\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}}$$

El proceso paso a paso:

1. Flecha hacia arriba ($A \cdot D$): Multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda. El resultado va ARRIBA.
2. Flecha hacia abajo ($B \cdot C$): Multiplica el denominador de la primera por el numerador de la segunda. El resultado va ABAJO.
3. Simplifica: Una vez tienes la fracción resultante, factoriza y cancela términos repetidos.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: División de Monomios

Divide: $\dfrac{4x^2}{3y} \div \dfrac{2x}{9y^2}$

Datos:

• Arriba (A): $4x^2$
• Abajo (B): $3y$
• Arriba (C): $2x$
• Abajo (D): $9y^2$

Razonamiento:

1. Multiplicamos cruzado:
   • Numerador final: $4x^2 \cdot 9y^2$
   • Denominador final: $3y \cdot 2x$

$$\frac{4x^2 \cdot 9y^2}{3y \cdot 2x}$$

2. Operamos los números y letras:
   • Arriba: $36x^2y^2$
   • Abajo: $6xy$

$$\frac{36x^2y^2}{6xy}$$

3. Simplificamos:
   • $36 \div 6 = 6$
   • $x^2 \div x = x$
   • $y^2 \div y = y$

Resultado: $\boxed{6xy}$

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Ejemplo 2: Polinomios Simples

Divide: $\dfrac{2x+6}{5} \div \dfrac{x+3}{10}$

Razonamiento:

1. Armamos la cruz (dejado indicado para simplificar después):
   • Arriba: $(2x+6) \cdot 10$
   • Abajo: $5 \cdot (x+3)$

$$\frac{10(2x+6)}{5(x+3)}$$

2. Factorizamos lo que se pueda ($2x+6 = 2(x+3)$):

$$\frac{10 \cdot 2(x+3)}{5(x+3)}$$

3. Cancelamos y operamos:
   • Se va el paquete $(x+3)$.
   • Queda $\frac{20}{5}$

Resultado: $\boxed{4}$

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Ejemplo 3: Diferencia de Cuadrados

Divide: $\dfrac{x^2-16}{x+2} \div \dfrac{x-4}{x+2}$

Datos:

• $x^2-16$ es $(x+4)(x-4)$.

Razonamiento:

1. Multiplicación en cruz:

$$\frac{(x^2-16) \cdot (x+2)}{(x+2) \cdot (x-4)}$$

2. Factorizamos el numerador:

$$\frac{(x+4)(x-4) \cdot (x+2)}{(x+2) \cdot (x-4)}$$

3. Cancelación masiva:

   • El $(x-4)$ se va con el $(x-4)$.
   • El $(x+2)$ se va con el $(x+2)$.

4. Solo nos queda el factor sobreviviente.

Resultado: $\boxed{x+4}$

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Ejemplo 4: Trinomios

Divide: $\dfrac{x^2+5x+6}{x-3} \div \dfrac{x+2}{x-3}$

Razonamiento:

1. Cruzamos:
   • Numerador: $(x^2+5x+6) \cdot (x-3)$
   • Denominador: $(x-3) \cdot (x+2)$

$$\frac{(x^2+5x+6)(x-3)}{(x-3)(x+2)}$$

2. Factorizamos el trinomio $x^2+5x+6 \to (x+3)(x+2)$:

$$\frac{(x+3)(x+2)(x-3)}{(x-3)(x+2)}$$

3. Simplificamos:
   • Tachamos $(x+2)$ arriba y abajo.
   • Tachamos $(x-3)$ arriba y abajo.

Resultado: $\boxed{x+3}$

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Ejemplo 5: División de entero por fracción

Divide: $(x^2 - 9) \div \dfrac{x+3}{2}$

Truco: Ponle un 1 debajo al entero para verlo como fracción: $\frac{x^2-9}{1}$.

Razonamiento:

1. Multiplicación en cruz:
   • Arriba: $(x^2-9) \cdot 2$
   • Abajo: $1 \cdot (x+3)$

$$\frac{2(x^2-9)}{x+3}$$

2. Factorizamos la diferencia de cuadrados:

$$\frac{2(x+3)(x-3)}{x+3}$$

3. Simplificamos:
   • Se va el factor $(x+3)$.
   • Nos queda $2(x-3)$.

Resultado: $\boxed{2x-6}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Divide $\dfrac{10a^2}{3b} \div \dfrac{5a}{6b}$.

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Razonamiento:
Cruzamos: $(10a^2 \cdot 6b)$ arriba, $(3b \cdot 5a)$ abajo.

$$\frac{60a^2b}{15ab}$$

Simplificamos: $60/15=4$, $a^2/a=a$, $b/b=1$.

Resultado: $\boxed{4a}$

Ejercicio 2

Divide $\dfrac{3x}{y} \div 6x$.

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Datos: $6x = \frac{6x}{1}$.
Razonamiento:
Cruzamos: $3x \cdot 1$ arriba, $y \cdot 6x$ abajo.

$$\frac{3x}{6xy}$$

Simplificamos $3/6 = 1/2$ y las $x$.

Resultado: $\boxed{\frac{1}{2y}}$

Ejercicio 3

Divide $\dfrac{x+5}{x-1} \div \dfrac{x+5}{2}$.

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Razonamiento:
Cruzamos.

$$\frac{(x+5) \cdot 2}{(x-1) \cdot (x+5)}$$

Cancelamos $(x+5)$.

Resultado: $\boxed{\frac{2}{x-1}}$

Ejercicio 4

Divide $\dfrac{x^2-1}{x} \div \dfrac{x+1}{x}$.

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Razonamiento:
Factorizamos $x^2-1 = (x+1)(x-1)$.
Cruzamos:

$$\frac{(x+1)(x-1) \cdot x}{x \cdot (x+1)}$$

Cancelamos $x$ y $(x+1)$.

Resultado: $\boxed{x-1}$

Ejercicio 5

Divide $\dfrac{4x-8}{3} \div \dfrac{x-2}{6}$.

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Razonamiento:
Cruzamos:

$$\frac{6 \cdot 4(x-2)}{3 \cdot (x-2)}$$

Cancelamos $(x-2)$. Queda $\frac{24}{3}$.

Resultado: $\boxed{8}$

Ejercicio 6

Divide $\dfrac{x^2-2x+1}{x^2+x} \div \dfrac{x-1}{x}$.

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Razonamiento:
Factorizamos: $(x-1)^2$ y $x(x+1)$.
Cruzamos:

$$\frac{(x-1)^2 \cdot x}{x(x+1) \cdot (x-1)}$$

Cancelamos una $x$ y un $(x-1)$.

Resultado: $\boxed{\frac{x-1}{x+1}}$

Ejercicio 7

Divide $\dfrac{a^2-b^2}{2} \div (a+b)$.

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Razonamiento:
$(a+b)$ tiene un 1 abajo.
Cruzamos:

$$\frac{(a+b)(a-b) \cdot 1}{2 \cdot (a+b)}$$

Cancelamos $(a+b)$.

Resultado: $\boxed{\frac{a-b}{2}}$

Ejercicio 8

Divide $\dfrac{1}{x^2-9} \div \dfrac{1}{x-3}$.

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Razonamiento:
Cruzamos: $1 \cdot (x-3)$ arriba, $(x^2-9) \cdot 1$ abajo.

$$\frac{x-3}{(x+3)(x-3)}$$

Resultado: $\boxed{\frac{1}{x+3}}$

Ejercicio 9

Divide $\dfrac{x^2+7x+12}{x} \div \dfrac{x+4}{2x}$.

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Razonamiento:
Cruzamos.

$$\frac{(x+4)(x+3) \cdot 2x}{x \cdot (x+4)}$$

Cancelamos $x$ y $(x+4)$. Queda $2(x+3)$.

Resultado: $\boxed{2x+6}$

Ejercicio 10

Divide $\dfrac{x^3}{y^2} \div \dfrac{x^2}{y^3}$.

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Razonamiento:
Cruzamos: $x^3 \cdot y^3$ arriba, $y^2 \cdot x^2$ abajo.

$$\frac{x^3y^3}{x^2y^2}$$

Restamos exponentes: $3-2=1$.

Resultado: $\boxed{xy}$

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🔑 Resumen

Para dividir fracciones algebraicas, usa la multiplicación cruzada:

Truco: Dibuja una X gigante imaginaria entre las fracciones. Sigue las líneas y sabrás qué multiplicar con qué.