Conversión Grados-Radianes

Si viajas a Estados Unidos, tienes que cambiar tus kilómetros por millas. En matemáticas es igual: a veces el problema te habla en grados (ingeniería, topografía) y otras en radianes (cálculo, física). Tienes que saber hablar ambos idiomas.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• La regla de oro para convertir cualquier ángulo.
• Cómo pasar de grados a radianes (multiplicar por $\pi/180$).
• Cómo pasar de radianes a grados (multiplicar por $180/\pi$).
• Trucos para hacer conversiones mentales rápidas.

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💡 La Clave

Todo se basa en una sola igualdad:

$$180^\circ = \pi \text{ rad}$$

De aquí salen dos factores de conversión que usaremos como si fueran "fracciones que valen 1":

1. De Grados a Radianes: Quiero borrar "$^\circ$" y poner "rad". Pongo $^\circ$ abajo.

   $$\times \frac{\pi}{180^\circ}$$

2. De Radianes a Grados: Quiero borrar "rad" y poner "$^\circ$". Pongo $^\circ$ arriba.

   $$\times \frac{180^\circ}{\pi}$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Vamos a practicar por separado cada dirección de la conversión.

Parte 1: De Grados ($^\circ$) a Radianes

Estrategia: Multiplicamos por $\frac{\pi}{180^\circ}$ y simplificamos la fracción resultante.

Ejemplo 1: Ángulo estándar

Convierte $120^\circ$ a radianes.

Solución:

$$120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{120\pi}{180}$$

Simplificamos dividiendo por 60:

$$\boxed{\frac{2\pi}{3} \text{ rad}}$$

Ejemplo 2: Ángulo negativo

Convierte $-30^\circ$ a radianes.

Solución:
El signo se mantiene igual.

$$-30 \times \frac{\pi}{180} = -\frac{30\pi}{180}$$

Simplificamos dividiendo por 30:

$$\boxed{-\frac{\pi}{6} \text{ rad}}$$

Ejemplo 3: Más de una vuelta

Convierte $390^\circ$ a radianes.

Solución:

$$390 \times \frac{\pi}{180} = \frac{390\pi}{180}$$

Quitamos ceros ($\div 10$) y luego sacamos tercera ($\div 3$):

$$\frac{39\pi}{18} = \frac{13\pi}{6}$$

Resultado:

$$\boxed{\frac{13\pi}{6} \text{ rad}}$$

Ejemplo 4: Ángulo pequeño

Convierte $15^\circ$ a radianes.

Solución:

$$15 \times \frac{\pi}{180} = \frac{15\pi}{180}$$

Simplificamos (quinceava parte):

$$\boxed{\frac{\pi}{12} \text{ rad}}$$

Ejemplo 5: Cuarto cuadrante

Convierte $315^\circ$ a radianes.

Solución:

$$315 \times \frac{\pi}{180} = \frac{315\pi}{180}$$

Dividimos por 5 (315/5=63, 180/5=36) $\to \frac{63\pi}{36}$.
Dividimos por 9 (63/9=7, 36/9=4):

$$\boxed{\frac{7\pi}{4} \text{ rad}}$$

Parte 2: De Radianes a Grados

Estrategia: Sustituimos $\pi$ por $180^\circ$ y operamos. Si no hay $\pi$, multiplicamos por $57.3^\circ$.

Ejemplo 6: Fracción simple

Convierte $\frac{\pi}{5}$ rad a grados.

Solución:
Cambiamos $\pi \to 180^\circ$:

$$\frac{180^\circ}{5}$$ $$\boxed{36^\circ}$$

Ejemplo 7: Decimales (sin $\pi$)

Convertir $2.5$ radianes a grados.

Solución:
Usamos la equivalencia $1 \text{ rad} \approx 57.29^\circ$:

$$2.5 \times 57.29^\circ$$ $$\boxed{143.2^\circ}$$

Ejemplo 8: Negativos

Convierte $-\frac{3\pi}{4}$ rad a grados.

Solución:

$$-\frac{3(180^\circ)}{4}$$

Primero dividimos: $180 \div 4 = 45$.
Luego multiplicamos: $-3 \times 45 = -135$.

$$\boxed{-135^\circ}$$

Ejemplo 9: Fracción impropia

Convierte $\frac{9\pi}{4}$ rad a grados.

Solución:

$$\frac{9(180^\circ)}{4}$$

Sabemos que $180/4 = 45$.
$9 \times 45 = 405$.

$$\boxed{405^\circ}$$

Ejemplo 10: Enteros de $\pi$

Convierte $3\pi$ rad a grados.

Solución:

$$3(180^\circ)$$ $$\boxed{540^\circ}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Convierte $90^\circ$ a radianes.

Ver solución

$90 \times \pi / 180 = \pi/2$.
Resultado: $\boxed{\pi/2 \text{ rad}}$

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Ejercicio 2

Convierte $\pi/6$ a grados.

Ver solución

$180 / 6 = 30$.
Resultado: $\boxed{30^\circ}$

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Ejercicio 3

Convierte $270^\circ$ a radianes.

Ver solución

$270/180 = 3/2$.
Resultado: $\boxed{3\pi/2 \text{ rad}}$

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Ejercicio 4

Convierte $3\pi/4$ a grados.

Ver solución

$3(180)/4 = 3(45) = 135$.
Resultado: $\boxed{135^\circ}$

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Ejercicio 5

Convierte $45^\circ$ a radianes.

Ver solución

$45/180 = 1/4$.
Resultado: $\boxed{\pi/4 \text{ rad}}$

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Ejercicio 6

Convierte $\pi$ radianes a grados.

Ver solución

Equlivalencia directa.
Resultado: $\boxed{180^\circ}$

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Ejercicio 7

Convierte $30^\circ$ a radianes.

Ver solución

$30/180 = 1/6$.
Resultado: $\boxed{\pi/6 \text{ rad}}$

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Ejercicio 8

Convierte $10^\circ$ a radianes.

Ver solución

$10/180 = 1/18$.
Resultado: $\boxed{\pi/18 \text{ rad}}$

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Ejercicio 9

Convierte $2\pi$ radianes a grados.

Ver solución

Dos vueltas de 180.
Resultado: $\boxed{360^\circ}$

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Ejercicio 10

Convierte $5\pi/6$ a grados.

Ver solución

$5(180)/6 = 5(30) = 150$.
Resultado: $\boxed{150^\circ}$

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🔑 Resumen

Conclusión: No memorices la fórmula de memoria. Solo recuerda que $\pi$ y $180^\circ$ son dos caras de la misma moneda. Si tienes uno y quieres el otro, haz el cambio.