Rectángulo, Rombo y Cuadrado

Si los paralelogramos fueran una familia, estos tres serían los miembros más distinguidos. Son versiones perfeccionadas del paralelogramo general, cada uno con una característica especial que lo hace único y extremadamente útil en la arquitectura y el diseño.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Distinguir las propiedades únicas del rectángulo, el rombo y el cuadrado.
• Calcular diagonales usando el Teorema de Pitágoras.
• Calcular áreas de rombos usando sus diagonales.
• Comprender la jerarquía: ¿Por qué todo cuadrado es un rectángulo, pero no al revés?
• Resolver problemas geométricos aplicando estas propiedades.

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🟦 El Rectángulo

Es el paralelogramo de los ángulos rectos. Su nombre lo dice: "Rect-Ángulo".

Definición y Propiedades

Un paralelogramo con cuatro ángulos de $90^\circ$. Su superpoder son las diagonales iguales ($AC = BD$).

Ejemplo 1: Verificación de Propiedades

Si en un cuadrilátero las diagonales miden 10 cm cada una y sus lados opuestos son paralelos, ¿qué figura es?

Resultado: Es un rectángulo.

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Fórmula de la Diagonal

Como el rectángulo forma dos triángulos rectángulos al trazar la diagonal, usamos el Teorema de Pitágoras:

$$d = \sqrt{b^2 + h^2}$$

Ejemplo 2: La Puerta de Entrada

Una puerta mide $2$ m de alto y $1$ m de ancho. ¿Cuánto mide su diagonal?

Usaremos el Teorema de Pitágoras sobre el rectángulo que forma la puerta.

Razonamiento:

Usamos Pitágoras:

$$d = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1}$$

Resultado:

$$\boxed{\sqrt{5} \approx 2.24 \text{ m}}$$

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🔶 El Rombo

Es el paralelogramo de los lados iguales. Imagina un cuadrado que ha sido "empujado" o inclinado.

Definición y Propiedades Clave

Paralelogramo con cuatro lados iguales ($AB=BC=CD=DA$). Sus diagonales son perpendiculares y funcionan como bisectrices.

Ejemplo 3: El Perímetro del Rombo

Si un lado de un rombo mide 5 cm, ¿cuánto mide su perímetro?

Como en un rombo todos los lados son iguales, multiplicamos por 4.

Razonamiento:

Como en un rombo todos los lados son iguales:

$$P = 5 \times 4 = 20$$

Resultado: $\boxed{20 \text{ cm}}$

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Área del Rombo

Es más común calcular el área usando sus diagonales ($D$ mayor y $d$ menor):

$$\text{Área} = \frac{D \cdot d}{2}$$

Ejemplo 4: Cálculo del Área

Un rombo tiene diagonales de $10$ cm y $6$ cm. Calcula su área.

Aplicaremos la fórmula del área basada en las diagonales.

Razonamiento:

$$A = \frac{10 \cdot 6}{2} = \frac{60}{2}$$

Resultado:

$$\boxed{30 \text{ cm}^2}$$

⬜ El Cuadrado

Es la figura perfecta. Es un Rectángulo (ángulos rectos) y un Rombo (lados iguales) a la vez.

Ejemplo 5: Simetría Total

¿Por qué el cuadrado es el más simétrico? Porque sus diagonales son iguales y perpendiculares.

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Diagonal del Cuadrado

Por Pitágoras, si el lado es $l$, la diagonal siempre sigue esta relación:

$$d = l\sqrt{2}$$

Ejemplo 6: Aplicación Directa

Halla la diagonal de un cuadrado que tiene un lado de $5$ cm.

Utilizaremos la relación directa entre el lado y la diagonal del cuadrado ($l\sqrt{2}$).

Razonamiento:

$$d = 5\sqrt{2} \approx 7.07$$

Resultado:

$$\boxed{5\sqrt{2} \approx 7.07 \text{ cm}}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Calcula la diagonal de un rectángulo de base 8 cm y altura 6 cm.

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Razonamiento:
Terna pitagórica (6, 8, 10). O cálculo:

$$d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100}$$

Resultado:

$$\boxed{10 \text{ cm}}$$

Ejercicio 2

Un rombo tiene un lado de 5 cm. ¿Cuál es su perímetro?

Ver solución

Razonamiento:
Los 4 lados son iguales.

$$P = 5 \cdot 4$$

Resultado:

$$\boxed{20 \text{ cm}}$$

Ejercicio 3

Calcula la diagonal de un cuadrado de lado 7 cm.

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Razonamiento:
Fórmula directa $d = l\sqrt{2}$.

Resultado:

$$\boxed{7\sqrt{2} \approx 9.9 \text{ cm}}$$

Ejercicio 4

Si el área de un cuadrado es $64 \text{ m}^2$, ¿cuánto mide su lado?

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Razonamiento:

$$l^2 = 64$$ $$l = \sqrt{64}$$

Resultado:

$$\boxed{8 \text{ m}}$$

Ejercicio 5

Verdadero o Falso: "Todo rectángulo es un paralelogramo".

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Razonamiento:
Sí, cumple la definición de lados opuestos paralelos.

Resultado:

$$\boxed{\text{Verdadero}}$$

Ejercicio 6

Verdadero o Falso: "Las diagonales de un rectángulo son perpendiculares".

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Razonamiento:
Solo si es un cuadrado. En un rectángulo alargado, forman ángulos agudos y obtusos.

Resultado:

$$\boxed{\text{Falso}}$$

Ejercicio 7

Halla el lado de un rombo si sus diagonales miden 6 y 8.
(Pista: Las diagonales se cortan en el centro formando triángulos rectángulos con catetos 3 y 4).

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Razonamiento:
Las semidiagonales son 3 y 4.

El lado es la hipotenusa.
Usamos Pitágoras: $\sqrt{3^2 + 4^2}$.

Resultado:

$$\boxed{5}$$

Ejercicio 8

En un cuadrado, ¿cuánto mide el ángulo formado entre un lado y una diagonal?

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Razonamiento:
La diagonal es bisectriz del ángulo de $90^\circ$.

$$\frac{90}{2} = 45$$

Resultado:

$$\boxed{45^\circ}$$

Ejercicio 9

Calcula el área de un cuadrado si su diagonal mide $\sqrt{50}$.

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Razonamiento:

$$d = l\sqrt{2} \implies \sqrt{50} = l\sqrt{2}$$ $$l = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$$ $$\text{Área} = 5^2$$

Resultado:

$$\boxed{25}$$

Ejercicio 10

Un rectángulo tiene un perímetro de 20 y un lado de 4. Halla su área.

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Razonamiento:

$$2(4) + 2b = 20$$ $$8 + 2b = 20$$ $$2b = 12 \implies b = 6$$ $$\text{Área} = 4 \cdot 6$$

Resultado:

$$\boxed{24}$$

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🔑 Resumen

El cuadrado es la "perfección" geométrica: máxima simetría posible en cuatro lados.