Binomios con Término Común

🎯 ¿Qué vas a aprender?

• A identificar binomios que comparten un término idéntico.
• La regla de la "suma y el producto" para resolverlos mentalmente.
• Cómo manejar los signos positivos y negativos sin confundirse.
• A aplicar la fórmula cuando el término común tiene coeficientes o exponentes.

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🔭 El Patrón de la Suma y el Producto

Imagina que multiplicas $(x + 3)$ por $(x + 2)$. Si lo haces paso a paso:
$(x \cdot x) + (x \cdot 2) + (3 \cdot x) + (3 \cdot 2) = x^2 + 2x + 3x + 6$.

Si sumamos los términos del medio, obtenemos: $x^2 + 5x + 6$.

Fíjate en estos dos números curiosos:

• El 5 es la suma de 3 y 2.
• El 6 es el producto de 3 y 2.

¡Este patrón se repite siempre que el término inicial sea el mismo!

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📏 La Regla General

Para multiplicar $(x + a)(x + b)$, seguimos este orden:

$$\boxed{(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab}$$

Regla de oro: El común al cuadrado, luego la suma de los diferentes por el común, y al final el producto de los diferentes.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Con signos diferentes

Calcula: $(x + 5)(x - 2)$

Datos:

• Término común: $x$
• Los diferentes: $+5$ y $-2$

Razonamiento:

1. Cuadrado del común: $x^2$.
2. Suma de los diferentes: $5 + (-2) = 3$. Multiplicamos por el común: $3x$.
3. Producto de los diferentes: $5 \cdot (-2) = -10$.

Resultado: $\boxed{x^2 + 3x - 10}$

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Ejemplo 2: Término común con coeficiente

Calcula: $(2m + 1)(2m + 4)$

Datos:

• Término común: $2m$
• Los diferentes: $1$ y $4$

Razonamiento:

1. Cuadrado del común: $(2m)^2 = 4m^2$.
2. Suma de los diferentes por el común: $(1 + 4) \cdot (2m) = 5 \cdot 2m = 10m$.
3. Producto de los diferentes: $1 \cdot 4 = 4$.

Resultado: $\boxed{4m^2 + 10m + 4}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Resuelve: $(x + 6)(x + 4)$

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Datos: $a = 6, b = 4$.
Razonamiento: Suma: $6+4=10$. Producto: $6 \cdot 4 = 24$.
Resultado: $\boxed{x^2 + 10x + 24}$

Ejercicio 2

Desarrolla: $(a - 3)(a - 7)$

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Datos: $a = -3, b = -7$.
Razonamiento: Suma: $-3 + (-7) = -10$. Producto: $(-3)(-7) = 21$.
Resultado: $\boxed{a^2 - 10a + 21}$

Ejercicio 3

Calcula: $(x + 8)(x - 3)$

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Datos: $a = 8, b = -3$.
Razonamiento: Suma: $8 - 3 = 5$. Producto: $8 \cdot (-3) = -24$.
Resultado: $\boxed{x^2 + 5x - 24}$

Ejercicio 4

Multiplica: $(m - 5)(m + 2)$

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Datos: $a = -5, b = 2$.
Razonamiento: Suma: $-5 + 2 = -3$. Producto: $-5 \cdot 2 = -10$.
Resultado: $\boxed{m^2 - 3m - 10}$

Ejercicio 5

Resuelve: $(y + 10)(y - 10)$

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Datos: ¡Caso especial! Son conjugados.
Razonamiento: Suma: $10 - 10 = 0$. Producto: $10 \cdot (-10) = -100$. El término central desaparece.
Resultado: $\boxed{y^2 - 100}$

Ejercicio 6

Desarrolla: $(3x + 2)(3x + 5)$

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Datos: Término común $3x$.
Razonamiento: $(3x)^2 + (2+5)(3x) + (2 \cdot 5) = 9x^2 + 7(3x) + 10$.
Resultado: $\boxed{9x^2 + 21x + 10}$

Ejercicio 7

Calcula: $(x^2 + 1)(x^2 + 6)$

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Datos: Término común con exponente.
Razonamiento: $(x^2)^2 + (1+6)x^2 + (1 \cdot 6) = x^4 + 7x^2 + 6$.
Resultado: $\boxed{x^4 + 7x^2 + 6}$

Ejercicio 8

Multiplica: $(a - \frac{1}{2})(a + 2)$

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Datos: Fracción y entero.
Razonamiento: Suma: $-\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$. Producto: $-\frac{1}{2} \cdot 2 = -1$.
Resultado: $\boxed{a^2 + \frac{3}{2}a - 1}$

Ejercicio 9

Simplifica: $(x + 3)(x + 2) - 5x$

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Datos: Desarrollo seguido de una resta.
Razonamiento: $(x^2 + 5x + 6) - 5x$. El término $5x$ se cancela.
Resultado: $\boxed{x^2 + 6}$

Ejercicio 10

Resuelve: $(2a - 3)(2a - 5)$

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Datos: Común $2a$, diferentes $-3$ y $-5$.
Razonamiento: $(2a)^2 + (-3-5)(2a) + (-3)(-5) = 4a^2 - 8(2a) + 15 = 4a^2 - 16a + 15$.
Resultado: $\boxed{4a^2 - 16a + 15}$

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🔑 Resumen

Recordar este patrón de "Suma y Producto" es la base fundamental para aprender a factorizar trinomios más adelante. ¡Es una herramienta doble!