Factor Común

El factor común es el primer caso de factorización y el más básico. Consiste en identificar qué número, letra o expresión se repite en todos los términos y sacarlo del paréntesis.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• A identificar el Máximo Común Divisor (MCD) de los coeficientes.
• A elegir la variable común con el exponente correcto.
• Los pasos para extraer el factor común correctamente.
• Cómo manejar signos negativos al factorizar.

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🔍 ¿Qué es un Factor Común?

Es un número, una letra o un bloque que divide exactamente a todos los términos de una suma o resta. Es como un "ingrediente compartido".

Ejemplo: El ingrediente repetido

Observa la expresión: $6x + 9y$

• ¿Hay algún número que divida al 6 y al 9 al mismo tiempo? Sí, el 3.
• ¿Hay alguna letra que se repita? No.
• Entonces, el factor común es 3.

$$3(2x + 3y)$$

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🏗️ Cómo extraer el Factor Común

Para no cometer errores, sigue este orden lógico:

1. Números: Busca el número más grande que divida a todos (MCD).
2. Letras: Toma la letra que esté en todos los términos con su menor exponente.
3. Dividir: Divide cada término original entre ese factor común para ver qué queda dentro del paréntesis.

Ejemplo Paso a Paso

Factoriza: $4x^3 + 8x^2$

Razonamiento:

• MCD de 4 y 8: Es 4.
• Letra común: La $x$ aparece en ambos. El menor exponente es 2. Factor: $x^2$.
• Factor Común Total: $\boxed{4x^2}$.

Dividimos:

$$4x^3 \div 4x^2 = x$$ $$8x^2 \div 4x^2 = 2$$

Resultado: $\boxed{4x^2(x + 2)}$

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⚠️ Factor Común Negativo

Si el primer término es negativo, a veces conviene sacar el signo menos como parte del factor común. ¡Recuerda que esto cambiará todos los signos de adentro!

Ejemplo: El Cambio de Interruptor

Factoriza: $-5a^2 + 10a$

Razonamiento:

1. Sacamos $-5a$ como factor.

2. Dividimos:

$$(-5a^2) \div (-5a) = a$$ $$(+10a) \div (-5a) = -2$$

Resultado: $\boxed{-5a(a - 2)}$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Varias letras

Factoriza: $12a^2b - 8ab^2$

Datos: Coeficientes 12, 8. Letras $a, b$.

Razonamiento:

1. MCD de 12 y 8: 4.
2. Menor exponente de $a$: $a^1$.
3. Menor exponente de $b$: $b^1$.
4. Factor común: $4ab$.
5. Dividimos: $3a - 2b$.

Resultado: $\boxed{4ab(3a - 2b)}$

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Ejemplo 2: El término "fantasma"

Factoriza: $x^2 + x$

Datos: La $x$ se repite.

Razonamiento:

1. Factor común: $x$.

2. Dividimos:

$$x^2 \div x = x$$ $$x \div x = 1$$

(¡NUNCA pongas cero!).

Resultado: $\boxed{x(x + 1)}$

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Ejemplo 3: Solo números

Factoriza: $15a + 20b - 30$

Razonamiento:

1. Buscamos el MCD de 15, 20 y 30. El divisor más grande es 5.

2. No hay letras comunes en los tres términos.

3. Dividimos cada término entre 5:

$$15a \div 5 = 3a$$ $$20b \div 5 = 4b$$ $$-30 \div 5 = -6$$

Resultado: $\boxed{5(3a + 4b - 6)}$

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Ejemplo 4: Exponentes variados

Factoriza: $m^5 - m^3 + m^2$

Razonamiento:

1. La letra $m$ se repite en todos.

2. Elegimos el menor exponente: 2.

3. Factor común: $m^2$.

4. Dividimos restando exponentes:

$$m^5 \div m^2 = m^3$$ $$m^3 \div m^2 = m^1$$ $$m^2 \div m^2 = 1$$

Resultado: $\boxed{m^2(m^3 - m + 1)}$

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Ejemplo 5: El caso completo

Factoriza: $18x^2y^3 - 12x^3y^2$

Razonamiento:

1. MCD de 18 y 12: 6.

2. Menor exponente de $x$: $x^2$.

3. Menor exponente de $y$: $y^2$.

4. Factor común total: $6x^2y^2$.

5. Dividimos:

$$18x^2y^3 \div 6x^2y^2 = 3y$$ $$12x^3y^2 \div 6x^2y^2 = 2x$$

Resultado: $\boxed{6x^2y^2(3y - 2x)}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Identifica el factor común numérico de $15, 20 \text{ y } 30$.

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Razonamiento: Buscamos el divisor más grande de los tres números.
Resultado: $\boxed{5}$

Ejercicio 2

Factoriza la expresión: $6a + 12$.

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Datos: MCD de 6 y 12 es 6.

Razonamiento:

$$6(a) + 6(2)$$

Resultado: $\boxed{6(a + 2)}$

Ejercicio 3

¿Cuál es la variable común en $x^4, x^3 \text{ y } x^5$?

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Razonamiento: Tomamos la letra con el exponente más pequeño.
Resultado: $\boxed{x^3}$

Ejercicio 4

Factoriza: $m^2 - m$.

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Razonamiento:

Extraemos $m$:

$$m(m) - m(1)$$

Resultado: $\boxed{m(m - 1)}$

Ejercicio 5

Resuelve: $10x^2y + 15xy^2$.

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Datos: MCD: 5. Letras comunes: $x, y$.

Razonamiento:

$$5xy(2x + 3y)$$

Resultado: $\boxed{5xy(2x + 3y)}$

Ejercicio 6

Factoriza usando un término negativo: $-3x - 9$.

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Razonamiento:

Sacamos el $-3$. Esto vuelve positivos a los términos internos:

$$-3(x + 3)$$

Resultado: $\boxed{-3(x + 3)}$

Ejercicio 7

Factoriza: $2a^3 + 4a^2 + 6a$.

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Datos: MCD: 2. Letra: $a$.

Razonamiento:

Dividimos cada uno:

$$a^2, \quad 2a, \quad 3$$

Resultado: $\boxed{2a(a^2 + 2a + 3)}$

Ejercicio 8

¿Cuál es el factor común en $abc + abd$?

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Razonamiento: Las letras que se repiten en ambos bloques son $a$ y $b$.
Resultado: $\boxed{ab}$

Ejercicio 9

Factoriza: $\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x$.

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Razonamiento:

Sacamos la fracción y la letra:

$$\frac{1}{2}x(x + 1)$$

Resultado: $\boxed{\frac{1}{2}x(x + 1)}$

Ejercicio 10

Verifica si $x^2(x - 5)$ es la factorización de $x^3 - 5x^2$.

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Razonamiento:

Multiplicamos:

$$x^2 \cdot x = x^3$$ $$x^2 \cdot (-5) = -5x^2$$

Resultado: $\boxed{\text{Sí, es correcta}}$

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🔑 Resumen

El factor común es la base de todo el álgebra superior. Si dominas este "agrupamiento" inteligente, el resto de los casos de factorización serán mucho más sencillos.