División de Radicales

Dividir radicales es muy parecido a simplificar fracciones, pero con una regla importante: para combinar raíces en una sola, deben tener el mismo índice. Imagina que quieres calcular cuántas veces cabe una baldosa cuadrada de área $\sqrt{2}$ en un piso de área $\sqrt{50}$; para resolverlo, necesitas dividir radicales.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo dividir radicales que tienen el mismo índice.
• Cómo simplificar coeficientes y radicandos por separado.
• Cómo dividir radicales cuando tienen índices diferentes.
• Estrategias para simplificar el resultado final.

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➗ División con el Mismo Índice

Esta es la situación ideal. Si los índices son iguales, puedes unir todo bajo una sola raíz "grande" y dividir los números de adentro.

La Regla de Oro

$$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$$

Es decir: "La división de las raíces es la raíz de la división."

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: División Directa

Calcula la división:

$$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$$

Razonamiento:
Como ambas son raíces cuadradas (índice 2), unimos los números en una sola raíz y dividimos.

$$\sqrt{\frac{50}{2}}$$ $$\sqrt{25}$$

Resultado:

$$\boxed{5}$$

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Ejemplo 2: División con Coeficientes

Simplifica la expresión:

$$\frac{6\sqrt{20}}{3\sqrt{5}}$$

Razonamiento:
Trabajamos por separado: "los de afuera con los de afuera" y "los de adentro con los de adentro".

1. Dividimos los coeficientes: $6 \div 3 = 2$.
2. Dividimos los radicales: $\sqrt{20} \div \sqrt{5} = \sqrt{4}$.

Paso a paso:

$$\frac{6}{3} \cdot \sqrt{\frac{20}{5}}$$ $$2 \cdot \sqrt{4}$$ $$2 \cdot 2$$

Resultado:

$$\boxed{4}$$

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Ejemplo 3: División con Variables

Simplifica:

$$\frac{\sqrt{18x^5}}{\sqrt{2x}}$$

Razonamiento:
Unimos en una sola fracción y usamos las reglas de los exponentes (al dividir, se restan los exponentes: $x^5 / x^1 = x^4$).

Paso 1: Simplificar la fracción

$$\sqrt{\frac{18x^5}{2x}}$$ $$\sqrt{9x^4}$$

Paso 2: Calcular la raíz
La raíz de 9 es 3, y la raíz de $x^4$ es $x^2$.

Resultado:

$$\boxed{3x^2}$$

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Ejemplo 4: División con Índices Diferentes

Calcula:

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[3]{a}}$$

Razonamiento:
Aquí NO podemos dividir directamente porque los índices son distintos (2 y 3).
Debemos convertirlos a un índice común (Mínimo Común Múltiplo). El MCM de 2 y 3 es 6.

Paso 1: Convertir al índice común (6)
Multiplicamos índice y exponente para llegar a 6.

• Numerador (índice 2): Multiplicamos por 3.

$$\sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{a^3}$$

• Denominador (índice 3): Multiplicamos por 2.

$$\sqrt[3]{a^1} = \sqrt[3 \cdot 2]{a^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{a^2}$$

Paso 2: Dividir ahora que son iguales

$$\frac{\sqrt[6]{a^3}}{\sqrt[6]{a^2}} = \sqrt[6]{\frac{a^3}{a^2}}$$

Resultado:

$$\boxed{\sqrt[6]{a}}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Divide: $\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$

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Razonamiento:
Unimos en una sola raíz:

$$\sqrt{\frac{72}{2}}$$ $$\sqrt{36}$$

Resultado:

$$\boxed{6}$$

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Ejercicio 2

Divide: $\dfrac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}$

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Razonamiento:
Mismo índice (3), dividimos dentro:

$$\sqrt[3]{\frac{54}{2}}$$ $$\sqrt[3]{27}$$

Resultado:

$$\boxed{3}$$

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Ejercicio 3

Simplifica: $\dfrac{10\sqrt{48}}{2\sqrt{3}}$

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Razonamiento:
Dividimos coeficientes ($10/2$) y radicandos ($48/3$):

$$5 \cdot \sqrt{16}$$ $$5 \cdot 4$$

Resultado:

$$\boxed{20}$$

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Ejercicio 4

Simplifica con variables: $\dfrac{\sqrt{x^7}}{\sqrt{x^3}}$

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Razonamiento:
Restamos exponentes: $7 - 3 = 4$.

$$\sqrt{x^4}$$

Resultado:

$$\boxed{x^2}$$

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Ejercicio 5

Calcula: $\dfrac{\sqrt{125}}{\sqrt{5}}$

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Razonamiento:

$$\sqrt{\frac{125}{5}}$$ $$\sqrt{25}$$

Resultado:

$$\boxed{5}$$

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Ejercicio 6

Simplifica: $\dfrac{\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}}$

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Razonamiento:

$$\sqrt[4]{\frac{80}{5}}$$ $$\sqrt[4]{16}$$

Resultado:

$$\boxed{2}$$

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Ejercicio 7

Divide: $\dfrac{\sqrt{18a^3}}{\sqrt{2a}}$

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Razonamiento:

$$\sqrt{\frac{18a^3}{2a}}$$ $$\sqrt{9a^2}$$ $$3a$$

Resultado:

$$\boxed{3a}$$

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Ejercicio 8

Divide con índices diferentes: $\dfrac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt{x}}$

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Razonamiento:
Índices 4 y 2. MCM = 4.
El denominador $\sqrt{x}$ es $\sqrt[4]{x^2}$.

$$\frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt[4]{x^2}} = \sqrt[4]{x^{3-2}}$$

Resultado:

$$\boxed{\sqrt[4]{x}}$$

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Ejercicio 9

Simplifica: $\dfrac{15\sqrt{24}}{5\sqrt{6}}$

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Razonamiento:
Coeficientes: $15/5 = 3$. Radicales: $24/6 = 4$.

$$3 \cdot \sqrt{4}$$ $$3 \cdot 2$$

Resultado:

$$\boxed{6}$$

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Ejercicio 10

Simplifica: $\dfrac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}}$

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Razonamiento:

$$\sqrt{\frac{200}{8}}$$ $$\sqrt{25}$$

Resultado:

$$\boxed{5}$$

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🔑 Resumen

Consejo: Siempre intenta simplificar la fracción dentro de la raíz antes de intentar calcular la raíz. Es mucho más fácil calcular $\sqrt{25}$ que $\sqrt{50} \div \sqrt{2}$.