Trinomio de la forma ax² + bx + c

En lecciones anteriores aprendimos a factorizar trinomios donde el coeficiente de $x^2$ es 1. Ahora veremos qué hacer cuando ese coeficiente es diferente de 1. Para resolver estos trinomios, existen tres métodos principales que nos permiten llegar al mismo resultado.

🎯 ¿Qué vas a aprender?

A identificar trinomios con coeficiente principal distinto de 1.
El Método de Reducción para convertir un trinomio difícil en uno simple de una vez.
El Método de Agrupación para factorizar paso a paso mediante el producto AC.
El Método de Tanteo para factorizar mediante inspección cruzada.
A elegir el mejor método según tu preferencia y el problema.

🏗️ Método 1: Reducción a la forma simple

Este es un método muy potente que transforma de inmediato nuestro trinomio de la forma $ax^2 + bx + c$ ( $a \neq 1$ ) en uno de la forma $x^2 + bx + c$ ( $a = 1$ ) mediante un truco matemático.

Pasos del Método

Consiste en multiplicar y dividir por el mismo coeficiente $a$ en un solo paso:

Multiplicamos y dividimos todo el trinomio por $a$ . Al multiplicar, el primer término queda como $(ax)^2$ , el término central queda con el factor indicado $b(ax)$ y el último término se multiplica directamente $ac$ .
Factorizamos el trinomio de arriba buscando dos números que multipliquen $ac$ y sumen $b$ .
Simplificamos la fracción dividiendo para eliminar el denominador $a$ .

Ejemplo 1: El truco de multiplicar y dividir de una vez

Factoriza usando reducción: $6x^2 - 7x - 3$

Datos:

$a = 6$ , $b = -7$ , $c = -3$

Razonamiento:

Multiplicamos y dividimos por 6 directamente:

\frac{(6x)^2 - 7(6x) - 18}{6}

Factorizamos el trinomio de arriba: Buscamos dos números que multipliquen -18 y sumen -7. Estos son -9 y +2.
Escribimos los paréntesis usando $6x$ como nuestra variable:

\frac{(6x - 9)(6x + 2)}{6}

Simplificamos: Descomponemos el denominador $6$ en $3 \times 2$ para que divida exactamente a cada paréntesis:

\frac{(6x - 9)}{3} \cdot \frac{(6x + 2)}{2} = (2x - 3)(3x + 1)

Resultado: $\boxed{(2x - 3)(3x + 1)}$

🏗️ Método 2: Agrupación (Producto AC)

Este método es muy estructurado. Consiste en convertir el trinomio de 3 términos en un polinomio de 4 términos para poder aplicar factor común por agrupación.

Pasos del Método

Multiplica el primer coeficiente ( $a$ ) por el último ( $c$ ) para obtener el Producto AC.
Busca dos números que multiplicados den el Producto AC y sumados den el término central $b$ .
Reescribe el trinomio sustituyendo el término central por la suma de estos dos números.
Factoriza por agrupación sacando el factor común por parejas.

Ejemplo 2: Agrupación paso a paso

Factoriza: $2x^2 + 7x + 3$

Datos:

$a = 2$ , $b = 7$ , $c = 3$
Producto AC = $2 \times 3 = 6$

Razonamiento:

Buscamos números que multipliquen 6 y sumen 7. Son 6 y 1.
Abrimos el centro:

2x^2 + 6x + x + 3

Agrupamos por parejas:

(2x^2 + 6x) + (x + 3)

Sacamos factor común de cada grupo:

2x(x + 3) + 1(x + 3)

Como el bloque $(x + 3)$ se repite, lo extraemos:

Resultado: $\boxed{(x + 3)(2x + 1)}$

🏗️ Método 3: Tanteo (Inspección)

Este método consiste en probar combinaciones de factores de los términos extremos hasta que la suma cruzada coincida con el término central. Es muy rápido cuando los números son pequeños.

Pasos del Método

Descompón el primer término ( $ax^2$ ) en dos factores.
Descompón el último término ( $c$ ) en dos factores.
Prueba combinaciones multiplicando en cruz.
Si la suma de estos productos cruzados es igual al término central, has encontrado los binomios correctos.

Ejemplo 3: Tanteo básico

Factoriza: $2x^2 + 5x + 2$

Razonamiento:

Factores de $2x^2$ : $(2x)$ y $(x)$ .
Factores de $2$ : $(1)$ y $(2)$ .
Probamos la combinación:

(2x + 1)(x + 2)

Verificamos en cruz:

2x \cdot 2 = 4x \quad \text{y} \quad x \cdot 1 = x

Suma:

4x + x = 5x

¡Coincide con el centro!

Resultado: $\boxed{(2x + 1)(x + 2)}$

📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Factoriza: $2x^2 + 9x + 4$

Ver solución

Datos: AC = 8, Suma = 9. Números: 8 y 1.

Razonamiento:

2x^2 + 8x + x + 4 = 2x(x+4) + 1(x+4)

Resultado: $\boxed{(x + 4)(2x + 1)}$

Ejercicio 2

Factoriza: $3x^2 + 7x + 2$

Ver solución

Datos: Multiplicamos y dividimos por 3. AC = 6, Suma = 7. Números: 6 y 1.

Razonamiento:

\frac{(3x)^2 + 7(3x) + 6}{3} = \frac{(3x+6)(3x+1)}{3}

Simplificando:

(x+2)(3x+1)

Resultado: $\boxed{(x + 2)(3x + 1)}$

Ejercicio 3

Factoriza: $2x^2 + 11x + 5$

Ver solución

Datos: AC = 10, Suma = 11. Números: 10 y 1.

Razonamiento:

2x^2 + 10x + x + 5 = 2x(x+5) + 1(x+5)

Resultado: $\boxed{(x + 5)(2x + 1)}$

Ejercicio 4

Factoriza: $6x^2 - 7x + 2$

Ver solución

Datos: AC = 12, Suma = -7. Números: -4 y -3.

Razonamiento:

\frac{(6x-4)(6x-3)}{2 \times 3}

Simplificando:

(3x - 2)(2x - 1)

Resultado: $\boxed{(3x - 2)(2x - 1)}$

Ejercicio 5

Factoriza: $5x^2 + 7x + 2$

Ver solución

Datos: AC = 10, Suma = 7. Números: 5 y 2.

Razonamiento:

5x^2 + 5x + 2x + 2 = 5x(x+1) + 2(x+1)

Resultado: $\boxed{(x + 1)(5x + 2)}$

Ejercicio 6

Factoriza: $4x^2 - 15x - 4$

Ver solución

Datos: AC = -16, Suma = -15. Números: -16 y 1.

Razonamiento:

\frac{(4x-16)(4x+1)}{4}

Simplificando:

(x - 4)(4x + 1)

Resultado: $\boxed{(x - 4)(4x + 1)}$

Ejercicio 7

Factoriza: $3x^2 - 14x - 5$

Ver solución

Datos: AC = -15, Suma = -14. Números: -15 y 1.

Razonamiento:

3x^2 - 15x + x - 5 = 3x(x-5) + 1(x-5)

Resultado: $\boxed{(x - 5)(3x + 1)}$

Ejercicio 8

Factoriza: $2x^2 - 5x - 3$

Ver solución

Datos: AC = -6, Suma = -5. Números: -6 y 1.

Razonamiento:

\frac{(2x-6)(2x+1)}{2}

Simplificando:

(x - 3)(2x + 1)

Resultado: $\boxed{(x - 3)(2x + 1)}$

Ejercicio 9

Factoriza: $6x^2 + x - 2$

Ver solución

Datos: AC = -12, Suma = 1. Números: 4 y -3.

Razonamiento:

\frac{(6x+4)(6x-3)}{2 \cdot 3}

Simplificando:

(3x + 2)(2x - 1)

Resultado: $\boxed{(3x + 2)(2x - 1)}$

Ejercicio 10

Factoriza: $4x^2 + 18x + 8$

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Razonamiento:

Primero sacamos factor común 2:

2(2x^2 + 9x + 4)

Luego factorizamos el trinomio interno (AC = 8, números 8 y 1):

2[2x(x+4) + 1(x+4)] = 2(x+4)(2x+1)

Resultado: $\boxed{2(2x + 1)(x + 4)}$

Ejercicio 11

Factoriza usando Reducción: $3x^2 - 5x - 2$

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Razonamiento:

Multiplicamos y dividimos por 3:

\frac{(3x)^2 - 5(3x) - 6}{3}

Buscamos factores de -6 que sumen -5: -6 y 1.

\frac{(3x-6)(3x+1)}{3}

Simplificando:

(x - 2)(3x + 1)

Resultado: $\boxed{(x - 2)(3x + 1)}$

Ejercicio 12

Factoriza: $5x^2 + 13x - 6$

Ver solución

Datos: AC = -30, Suma = 13. Números: 15 y -2.

Razonamiento:

\frac{(5x+15)(5x-2)}{5}

Simplificando:

(x + 3)(5x - 2)

Resultado: $\boxed{(x + 3)(5x - 2)}$

Ejercicio 13

Factoriza: $6x^2 + 7x + 2$

Ver solución

Datos: AC = 12, Suma = 7. Números: 4 y 3.

Razonamiento:

\frac{(6x+4)(6x+3)}{2 \cdot 3}

Simplificando:

(3x + 2)(2x + 1)

Resultado: $\boxed{(3x + 2)(2x + 1)}$

Ejercicio 14

Factoriza: $2x^2 - 7x + 3$

Ver solución

Datos: AC = 6, Suma = -7. Números: -6 y -1.

Razonamiento:

\frac{(2x-6)(2x-1)}{2}

Simplificando:

(x - 3)(2x - 1)

Resultado: $\boxed{(x - 3)(2x - 1)}$

Ejercicio 15

Factoriza: $8x^2 - 14x + 3$

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Datos: AC = 24, Suma = -14. Números: -12 y -2.

Razonamiento:

\frac{(8x-12)(8x-2)}{4 \cdot 2}

Simplificando:

(2x - 3)(4x - 1)

Resultado: $\boxed{(2x - 3)(4x - 1)}$

🔑 Resumen

Método	Cuándo usarlo	Ventaja
Reducción ( $ax$ )	Si buscas rapidez transformando a trinomio simple	Te permite usar lo que ya sabes del caso anterior
Agrupación ( $AC$ )	Cuando prefieres un camino lógico y seguro	Evitas confusiones con la división final
Tanteo	Cuando los coeficientes son pequeños	Ahorra mucho espacio y tiempo con práctica

Todos los métodos te llevarán a la expresión correcta. ¡Elige el que te resulte más natural y no olvides verificar siempre multiplicando tus binomios!