Ángulos Internos y Externos del Triángulo

Si caminas tres pasos, giras un poco, caminas otros tres, giras otro poco... al final, si vuelves al punto de partida, habrás dado una vuelta completa ($360^\circ$).
Los triángulos tienen una magia similar guardada en sus esquinas. Hoy descubrirás la regla inquebrantable del 180 y el 360.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• La Suma de Ángulos Internos: Por qué siempre da $180^\circ$.
• La Suma de Ángulos Externos: Por qué siempre da $360^\circ$.
• El Teorema del Ángulo Exterior: Cómo calcular un ángulo de afuera usando los de adentro.
• Cómo resolver problemas de "ángulos perdidos" sin medir nada.

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🏠 Ángulos Internos: La Regla del 180

Imagina que recortas las tres esquinas de un triángulo de papel y las juntas punta con punta. Sorpresa: ¡Formarán una línea recta perfecta!
Una línea recta es un ángulo llano ($180^\circ$).

Regla de Oro: En TODO triángulo, la suma de los ángulos internos es siempre $180^\circ$.

$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$

¿Por qué sirve esto?

Si conoces dos ángulos, el tercero es "lo que falta" para llegar a 180.

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🌳 Ángulos Externos: La Regla del 360

Si extiendes uno de los lados, se forma un ángulo por fuera del triángulo.
Si haces esto en las tres esquinas y sumas esos ángulos externos, siempre obtendrás una vuelta completa.

Regla de Plata: La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo es siempre $360^\circ$.

$$\angle Ext_A + \angle Ext_B + \angle Ext_C = 360^\circ$$

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🚀 Teorema del Ángulo Exterior

Hay un atajo genial. Un ángulo exterior es igual a la suma de los dos internos que no están pegados a él.

$$\angle Ext_C = \angle A + \angle B$$

Ejemplo:
Si en las esquinas A y B tienes $50^\circ$ y $60^\circ$, el ángulo exterior en C será $50 + 60 = 110^\circ$. ¡Sin necesidad de calcular el interno de C primero!

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: El Ángulo Perdido

En el $\triangle ABC$, el ángulo $A = 40^\circ$ y $B = 80^\circ$. ¿Cuánto mide $C$?

Razonamiento:
La suma debe ser $180^\circ$.
Sumamos los que tenemos: $40 + 80 = 120$.
Restamos de 180: $180 - 120 = 60$.

Resultado:
$\boxed{60^\circ}$

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Ejemplo 2: El Triángulo Rectángulo

Tienes un triángulo rectángulo donde un ángulo agudo mide $30^\circ$. ¿Cuánto mide el otro?

Razonamiento:
Sabemos que uno es $90^\circ$ (recto).
Entonces: $90 + 30 + x = 180$.
$120 + x = 180$.
$x = 60$.

Atajo: En los rectángulos, los dos agudos siempre suman $90^\circ$. ($90 - 30 = 60$).

Resultado:
$\boxed{60^\circ}$

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Ejemplo 3: Usando el Ángulo Exterior

El ángulo exterior de un vértice mide $120^\circ$. Uno de los internos opuestos mide $70^\circ$. Halla el otro interno opuesto.

Razonamiento:
Teorema: Exterior = Interno1 + Interno2.
$120^\circ = 70^\circ + x$.
Despejamos $x$:
$x = 120^\circ - 70^\circ = 50^\circ$.

Resultado:
$\boxed{50^\circ}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Calcula el ángulo faltante si los otros dos miden $100^\circ$ y $20^\circ$.

Ver solución

Razonamiento:
$180 - (100 + 20) = 180 - 120 = 60$.

Resultado:
$\boxed{60^\circ}$

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Ejercicio 2

Un triángulo tiene tres ángulos iguales. ¿Cuánto miden?

Ver solución

Razonamiento:
$3x = 180 \rightarrow x = 180/3 = 60$.

Resultado:
$\boxed{60^\circ \text{ (Equilátero)}}$

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Ejercicio 3

Si un ángulo exterior mide $150^\circ$ y su adyacente interno mide $x$, halla $x$.

Ver solución

Razonamiento:
Interno + Exterior = $180^\circ$ (forman una línea).
$x + 150 = 180 \rightarrow x = 30$.

Resultado:
$\boxed{30^\circ}$

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Ejercicio 4

En un triángulo isósceles, el ángulo diferente mide $100^\circ$. ¿Cuánto miden los otros dos?

Ver solución

Razonamiento:
Quedan $180 - 100 = 80^\circ$ para repartir.
Como es isósceles, los otros dos son iguales.
$80 / 2 = 40$.

Resultado:
$\boxed{40^\circ \text{ cada uno}}$

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Ejercicio 5

¿Puede un triángulo tener dos ángulos obtusos (mayores de $90^\circ$)?

Ver solución

Razonamiento:
No. Si sumas dos números mayores de 90 (ej. $91+91$), te pasas de 180.

Resultado:
$\boxed{\text{No}}$

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Ejercicio 6

Calcula el ángulo exterior si los internos opuestos son $45^\circ$ y $45^\circ$.

Ver solución

Razonamiento:
Suma directa: $45 + 45 = 90$.

Resultado:
$\boxed{90^\circ}$

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Ejercicio 7

Halla $x$ si los ángulos son $x$, $2x$ y $3x$.

Ver solución

Razonamiento:
$x + 2x + 3x = 180$.
$6x = 180$.
$x = 30$.

Resultado:
$\boxed{30^\circ}$

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Ejercicio 8

En un triángulo rectángulo isósceles, ¿cuánto miden los ángulos agudos?

Ver solución

Razonamiento:
El recto es $90^\circ$. Quedan 90 para los dos iguales.
$90 / 2 = 45$.

Resultado:
$\boxed{45^\circ}$

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Ejercicio 9

Si la suma de dos ángulos es $110^\circ$, ¿cuánto mide el tercero?

Ver solución

Razonamiento:
$180 - 110 = 70$.

Resultado:
$\boxed{70^\circ}$

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Ejercicio 10

Verifica si estos ángulos forman un triángulo: $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$.

Ver solución

Razonamiento:
$30 + 60 + 90 = 180$. Coincide perfectamente.

Resultado:
$\boxed{\text{Sí}}$

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🔑 Resumen