Propiedades de los Radicales (II)

🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Qué hacer cuando tienes una raíz elevada a una potencia.
• Cómo resolver una "raíz dentro de otra raíz" (Raíz de una raíz).
• El truco para simplificar índices y exponentes como si fueran fracciones.

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⚡ Propiedad 3: Potencia de un Radical

"El exponente entra a la casa".

Si elevas toda una raíz a una potencia, ese exponente puede entrar y elevar directamente al número de adentro.

$$(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$$

¿Por qué funciona?

Recuerda que la raíz es un exponente fraccionario.

$$(a^{\frac{1}{n}})^m = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$

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⚡ Propiedad 4: Raíz de una Raíz

"Los índices se multiplican".

Si tienes una raíz dentro de otra, puedes fusionarlas en una sola multiplicando sus índices.

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$$

💡 Analogía: Es como mirar a través de dos lentes. El aumento total es la multiplicación de los aumentos individuales.

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⚡ Propiedad 5: Simplificación de Índice y Exponente

"Como simplificar una fracción".

Si el índice de la raíz y el exponente de adentro tienen un divisor común, ¡puedes dividirlos!

$$\sqrt[n \cdot k]{a^{m \cdot k}} = \sqrt[n]{a^m}$$

Ejemplo:
$\sqrt[6]{x^4}$ es lo mismo que $x^{\frac{4}{6}}$.
Simplificando la fracción: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Entonces queda $\sqrt[3]{x^2}$.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Potencia entrando

Simplifica $(\sqrt[3]{2})^6$.

Razonamiento:
Metemos el 6 dentro de la raíz.

$$\sqrt[3]{2^6}$$

Dividimos exponente entre índice: $6 \div 3 = 2$.

$$2^2 = 4$$

Resultado:

$$\boxed{4}$$

Ejemplo 2: Raíz de raíz

Simplifica $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$.

Razonamiento:
Multiplicamos los índices. Recuerda que la raíz sola tiene un 2 invisible.
$2 \times 3 = 6$.

$$\sqrt[6]{64}$$

Buscamos un número que multiplicado 6 veces dé 64. Es el 2.

Resultado:

$$\boxed{2}$$

Ejemplo 3: Simplificación extrema

Simplifica $\sqrt[12]{x^8}$.

Razonamiento:
Índice 12 y exponente 8. Ambos son divisibles por 4.
$12 \div 4 = 3$
$8 \div 4 = 2$

$$\sqrt[3]{x^2}$$

Resultado:

$$\boxed{\sqrt[3]{x^2}}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Simplifica $(\sqrt{5})^4$.

Ver solución

Razonamiento:
$\sqrt{5^4} = 5^{\frac{4}{2}} = 5^2$.

Resultado:

$$\boxed{25}$$

Ejercicio 2

Simplifica $\sqrt[3]{\sqrt{x}}$.

Ver solución

Razonamiento:
Índices $3 \times 2 = 6$.

Resultado:

$$\boxed{\sqrt[6]{x}}$$

Ejercicio 3

Simplifica $\sqrt[10]{a^5}$.

Ver solución

Razonamiento:
Dividimos entre 5. Índice $10 \to 2$, Exponente $5 \to 1$.

Resultado:

$$\boxed{\sqrt{a}}$$

Ejercicio 4

Calcula $\sqrt{\sqrt{16}}$.

Ver solución

Razonamiento:
$\sqrt[4]{16} = 2$.

Resultado:

$$\boxed{2}$$

Ejercicio 5

Simplifica $(\sqrt[4]{3})^8$.

Ver solución

Razonamiento:
$\sqrt[4]{3^8} = 3^{\frac{8}{4}} = 3^2$.

Resultado:

$$\boxed{9}$$

Ejercicio 6

Simplifica $\sqrt[6]{8}$.

Ver solución

Razonamiento:
$8 = 2^3$. Entonces $\sqrt[6]{2^3}$. Simplificamos por 3.

Resultado:

$$\boxed{\sqrt{2}}$$

Ejercicio 7

Simplifica $\sqrt[4]{x^2 y^2}$.

Ver solución

Razonamiento:
Todos divisibles por 2.

Resultado:

$$\boxed{\sqrt{xy}}$$

Ejercicio 8

Calcula $\sqrt[3]{\sqrt[2]{64}}$.

Ver solución

Razonamiento:
$\sqrt[6]{64} = 2$.

Resultado:

$$\boxed{2}$$

Ejercicio 9

Simplifica $(\sqrt[5]{x})^{10}$.

Ver solución

Razonamiento:
$x^{\frac{10}{5}} = x^2$.

Resultado:

$$\boxed{x^2}$$

Ejercicio 10

Simplifica $\sqrt[9]{27}$.

Ver solución

Razonamiento:
$27 = 3^3$. $\sqrt[9]{3^3}$. Simplificamos por 3.

Resultado:

$$\boxed{\sqrt[3]{3}}$$

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🔑 Resumen

Estas propiedades son esenciales para "limpiar" expresiones algebraicas antes de resolverlas.