Operaciones con Monomios

¿Alguna vez has organizado cajas en un almacén? Si tienes 3 cajas de manzanas y te llegan otras 2, simplemente sumas las cantidades porque son el mismo producto. Pero si te llegan 2 cajas de peras, no puedes decir que tienes 5 "cajas de algo". El álgebra funciona igual: para sumar o restar, los productos deben ser semejantes.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• La regla de oro para sumar y restar monomios semejantes.
• Cómo multiplicar monomios usando las leyes de los exponentes.
• El proceso para dividir monomios y simplificar expresiones.
• A resolver operaciones combinadas siguiendo el orden lógico.

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➕ Suma y Resta: Solo entre Semejantes

Para sumar o restar monomios, la condición es innegociable: deben tener la misma parte literal (mismas letras con mismos exponentes).

1. Coeficientes: Sumas o restas los números grandes.
2. Parte Literal: La dejas exactamente igual (¡no toques las letras!).

Ejemplo: El Almacén de Frutas

Si $x$ representa una caja de naranjas:

$$5x + 3x = (5 + 3)x = 8x$$

Pero si intentas sumar $5x + 3y$, la expresión se queda igual porque son productos diferentes.

⚠️ Error Común: Nunca sumes los exponentes al sumar monomios.

$$x^2 + x^2 = 2x^2$$

No:

$$x^4$$

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✖️ Multiplicación: ¡Aquí todo se vale!

A diferencia de la suma, para multiplicar no necesitas que sean semejantes. Puedes multiplicar cualquier monomio con cualquier otro.

1. Multiplicas los coeficientes: (Números con números).
2. Sumas los exponentes: De las letras que son iguales.

Ley de exponentes:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Ejemplo: Cálculo de Área

Si un rectángulo mide $3x$ de base y $2x$ de altura:

$$(3x) \cdot (2x) = (3 \cdot 2) \cdot (x^{1+1}) = 6x^2$$

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➗ División: Repartir y Restar

Dividir monomios es el proceso inverso. Aquí también puedes dividir cualquier par de monomios.

1. Divides los coeficientes: (Números entre números).
2. Restas los exponentes: De las letras iguales.

Ley de exponentes:

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

Ejemplo: Reparto de Recursos

Si repartes $12x^5$ entre $4x^2$ partes:

$$\frac{12x^5}{4x^2} = (12 \div 4) \cdot x^{5-2} = 3x^3$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Multiplicación Compleja

Calcula el producto de $(-2a^3b)$ por $(5a^2b^4)$.

Paso 1: Multiplicar signos y números

$$-2 \cdot 5 = -10$$

Paso 2: Sumar exponentes de letras iguales

• Para $a$: $3 + 2 = 5$
• Para $b$: $1 + 4 = 5$

Resultado: $\boxed{-10a^5b^5}$

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Ejemplo 2: División y Simplificación

Calcula: $\frac{-20x^4y^3}{5xy^2}$.

Análisis:
El coeficiente de abajo para $x$ tiene un exponente invisible de $1$.

Cálculo:

1. Signos y Números:

$$-20 \div 5 = -4$$

2. Exponente de $x$:

$$4 - 1 = 3$$

3. Exponente de $y$:

$$3 - 2 = 1$$

Resultado: $\boxed{-4x^3y}$

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📝 Ponte a Prueba

Ejercicio 1

Suma: $12x^2 + 5x^2 - 3x^2$.

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Razonamiento:
Todos son semejantes ($x^2$). Sumamos los números:

$$12 + 5 - 3 = 14$$

Resultado: $\boxed{14x^2}$

Ejercicio 2

Multiplica: $(4a^3) \cdot (2a^5)$.

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Razonamiento:
Multiplicamos los coeficientes:

$$4 \cdot 2 = 8$$

Y sumamos los exponentes:

$$3 + 5 = 8$$

Resultado: $\boxed{8a^8}$

Ejercicio 3

Divide: $\frac{15x^6}{3x^2}$.

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Razonamiento:
Dividimos los coeficientes:

$$15 \div 3 = 5$$

Y restamos los exponentes:

$$6 - 2 = 4$$

Resultado: $\boxed{5x^4}$

Ejercicio 4

Calcula: $(-3xy) \cdot (-4x^2y^3)$.

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Razonamiento:
Menos por menos es más.

$$3 \cdot 4 = 12$$

Sumamos los exponentes:

$$x(1+2)=3$$ $$y(1+3)=4$$

Resultado: $\boxed{12x^3y^4}$

Ejercicio 5

Simplifica: $8ab - 2ab + 5ab$.

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Razonamiento:
Son semejantes. Sumamos y restamos los coeficientes:

$$8 - 2 + 5 = 11$$

Resultado: $\boxed{11ab}$

Ejercicio 6

Divide: $\frac{-24m^5n^2}{6m^2n^2}$.

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Razonamiento:
$-24 \div 6 = -4$. Exponentes:

$$m(5-2)=3$$ $$n(2-2)=0$$

Recuerda que $n^0 = 1$.

Resultado: $\boxed{-4m^3}$

Ejercicio 7

Calcula: $(2x^2)^3$. (Potencia de un monomio)

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Razonamiento:
Elevamos el coeficiente $2^3 = 8$ y multiplicamos los exponentes:

$$2 \cdot 3 = 6$$

Resultado: $\boxed{8x^6}$

Ejercicio 8

Multiplica: $(\frac{1}{2}x) \cdot (4x^3)$.

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Razonamiento:

$$(\frac{1}{2} \cdot 4) = 2$$

Sumamos exponentes:

$$1 + 3 = 4$$

Resultado: $\boxed{2x^4}$

Ejercicio 9

Simplifica: $5x^2 - 3x + 2x^2 + 8x$.

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Razonamiento:
Agrupamos semejantes.

• $x^2$: $5+2=7$
• $x$: $-3+8=5$

Resultado: $\boxed{7x^2 + 5x}$

Ejercicio 10

Calcula: $\frac{(4x^2) \cdot (3x^3)}{6x}$.

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Razonamiento:
Primero multiplicamos arriba:

$$12x^5$$

Luego dividimos:

$$12x^5 \div 6x = 2x^4$$

Resultado: $\boxed{2x^4}$

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🔑 Resumen

💡 Conclusión: Operar con monomios es como seguir una receta: si respetas las reglas de los exponentes y los coeficientes, puedes simplificar cualquier expresión por compleja que parezca.