Funciones Cuadráticas

Desde la trayectoria de un balón de fútbol hasta el diseño de antenas satelitales, las curvas están en todas partes. La "madre" de todas estas curvas en forma de U es la función cuadrática. En esta lección, aprenderás a identificarla y entender su anatomía básica.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Qué es una función cuadrática y cómo se diferencia de una lineal.
• El papel de los coeficientes $a$, $b$ y $c$.
• Cómo saber si la parábola sonríe (U) o está triste (n).
• Calcular el vértice: el punto más importante de la curva.

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🏗️ La Estructura

Una función cuadrática tiene la forma general:

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

Donde $a \neq 0$.
Si $a$ fuera cero, el término cuadrado desaparecería y volveríamos a tener una línea recta ($bx+c$). ¡El término $x^2$ es el que crea la curva!

El Rol de $a$ (El Jefe)

El coeficiente $a$ decide la forma y dirección:

• Si $a > 0$: La parábola abre hacia arriba (carita feliz). Tiene un punto mínimo.

  

• Si $a < 0$: La parábola abre hacia abajo (carita triste). Tiene un punto máximo.

  

• Valor absoluto: Mientras más grande sea $|a|$, más "flaca" y cerrada será la parábola.

  

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📍 El Vértice: El Corazón de la Parábola

El vértice $(h, k)$ es el punto de inflexión donde la curva cambia de dirección.

Para encontrar la coordenada $x$ del vértice ($x_v$):

$$x_v = \frac{-b}{2a}$$

Para encontrar la coordenada $y$ ($y_v$), simplemente evaluamos la función en ese punto:

$$y_v = f(x_v)$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Identificación Básica

Analizar la función $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

1. Identificar coeficientes:

$$a = 1, \quad b = -4, \quad c = 3$$

2. Orientación:
Como $a = 1$ (positivo), la parábola abre hacia arriba.

3. Vértice:
Calculamos la coordenada $x$:

$$x_v = \frac{-(-4)}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2$$

Calculamos la altura $y$:

$$f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3$$ $$f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$$

Resultado:

$$\boxed{\text{Vértice en } (2, -1)}$$

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Ejemplo 2: Hacia Abajo

Analizar $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$.

1. Coeficientes:

$$a = -2, \quad b = 8, \quad c = -6$$

2. Orientación:
Como $a = -2$ (negativo), abre hacia abajo.

3. Vértice:

$$x_v = \frac{-8}{2(-2)} = \frac{-8}{-4} = 2$$ $$y_v = -2(2)^2 + 8(2) - 6$$ $$y_v = -2(4) + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2$$

Resultado:

$$\boxed{\text{Vértice en } (2, 2)}$$

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Ejemplo 3: Parábola Incompleta

Analizar $h(x) = 3x^2 + 6x$.

1. Coeficientes:

$$a = 3, \quad b = 6, \quad c = 0$$

2. Vértice:

$$x_v = \frac{-6}{2(3)} = \frac{-6}{6} = -1$$ $$y_v = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3(1) - 6 = -3$$

Resultado:

$$\boxed{\text{Vértice en } (-1, -3)}$$

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Ejemplo 4: Evaluación

Si $f(x) = x^2 - 5x + 6$, calcular $f(3)$.

Razonamiento:
Sustituimos $x$ por 3.

$$f(3) = (3)^2 - 5(3) + 6$$ $$f(3) = 9 - 15 + 6 = 0$$

Resultado:

$$\boxed{f(3) = 0}$$

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Ejemplo 5: Intercepto con el Eje Y

¿Dónde corta al eje Y la función $f(x) = -x^2 + 4x + 10$?

Razonamiento:
El corte con Y ocurre cuando $x=0$.

$$f(0) = -(0)^2 + 4(0) + 10 = 10$$

Es decir, es simplemente el valor de $c$.

Resultado:

$$\boxed{\text{Punto } (0, 10)}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Identifica $a, b, c$ en $f(x) = -x^2 + 6x - 5$.

Ver solución

$$a = -1, \quad b = 6, \quad c = -5$$

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Ejercicio 2

¿Hacia dónde abre la función $y = 5 - 3x^2$?

Ver solución

Ordenando: $y = -3x^2 + 5$. Como $a = -3$, abre hacia abajo.

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Ejercicio 3

Calcula el vértice de $y = x^2 - 6x + 5$.

Ver solución

$x_v = -(-6)/2 = 3$.
$y_v = 3^2 - 18 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.
Resultado: $\boxed{(3, -4)}$

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Ejercicio 4

Evalúa $f(x) = 2x^2 + 3x - 1$ para $x = -1$.

Ver solución

$2(1) - 3 - 1 = -2$.
Resultado: $\boxed{-2}$

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Ejercicio 5

¿Cuál es el intercepto $y$ de $f(x) = 4x^2 - 100$?

Ver solución

Es el término independiente $c$.
Resultado: $\boxed{-100}$

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Ejercicio 6

Encuentra el eje de simetría de $y = 2x^2 + 8x$.

Ver solución

$x = -8 / 4 = -2$.
Resultado: $\boxed{x = -2}$

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Ejercicio 7

Si el vértice está en $(2, 5)$ y abre hacia abajo, ¿el 5 es un máximo o un mínimo?

Ver solución

Si abre hacia abajo, es el punto más alto.
Resultado: $\boxed{\text{Máximo}}$

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Ejercicio 8

Escribe una función cuadrática que tenga $a=1, b=0, c=-4$.

Ver solución

Resultado: $\boxed{f(x) = x^2 - 4}$

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Ejercicio 9

Calcula el vértice de $y = -x^2 + 4$.

Ver solución

$b=0$, así que $x_v = 0$.
$y_v = 4$.
Resultado: $\boxed{(0, 4)}$

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Ejercicio 10

¿Qué efecto tiene cambiar $f(x) = x^2$ a $g(x) = 3x^2$?

Ver solución

Se hace más estrecha (crece más rápido).

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🔑 Resumen

Conclusión: Conocer los coeficientes es conocer el destino de la parábola. Antes de graficar nada, $a$, $b$ y $c$ ya te cuentan la historia completa.