Sistema Circular y Radianes

Imagina que tienes un hilo del mismo largo que el radio de un círculo. Si colocas ese hilo sobre el borde del círculo (la circunferencia), el ángulo que cubre es exactamente un radián. Esta medida es la favorita de los matemáticos y físicos porque no depende de divisiones arbitrarias como 360, sino de la propia geometría del círculo.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Qué es un radián y de dónde sale.
• Por qué $180^\circ$ es lo mismo que $\pi$ radianes.
• Cómo pensar en "mitades y tercios de pi" en lugar de memorizar números.

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⭕ ¿Qué es un Radián?

Un radián ($\text{rad}$) es el ángulo que se forma cuando la longitud del arco es igual al radio.

1. Radio del círculo = $r$.
2. Arco recorrido = $r$.
3. Ángulo formado = $1 \text{ rad}$.

Dato: Un radián equivale aproximadamente a $57.3^\circ$.

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🥧 La Relación con $\pi$

Para entender de dónde sale ese número raro ($\pi$), hagamos un experimento visual. Si tomas el radio ($r$) y lo vas pegando sobre el borde de la media circunferencia ($180^\circ$):

1. Pones el Primer radio (1 Rad).
2. Pones otro radio a continuación (otro Rad).
3. Pones otro más (otro Rad).

Al llegar aquí, tenemos 3 radianes, pero te darás cuenta de que falta un pedacito muy pequeño para completar la media vuelta. Ese pedacito mide $0.1415...$ radios.

En total, en media vuelta caben exactamente 3 radios y ese pedacito:

$$1 + 1 + 1 + 0.1415... = 3.1415... = \pi$$

Por lo tanto, la media vuelta son $\pi$ radianes.

$$180^\circ = \pi \text{ rad}$$

Y si seguimos pegando cuerdas hasta dar la vuelta completa, veremos que caben 6 radios enteros y un pedazo más grande ($0.28...$).

Ese total es exactamente $2\pi$ radios.

$$1 \text{ vuelta} = 360^\circ = 2\pi \text{ rad} \approx 6.2832 \text{ rad}$$

Esta igualdad es tu Regla de Oro (simplificada a la mitad):

$$180^\circ = \pi \text{ rad}$$

Consejo: Siempre que veas el símbolo $\pi$ en ángulos, tradúcelo mentalmente como "media vuelta".

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⚙️ Ejemplos Resueltos: Usando la Media Vuelta ($\pi$)

Recordemos la Regla de Oro: Media vuelta ($180^\circ$) equivale a $\pi$ radianes. Usaremos esta ficha de "media vuelta" para armar los demás ángulos.

Ejemplo 1: La Vuelta Completa ($360^\circ$)

Imagina completar el círculo.

• Media vueltas: Son 2 medias vueltas ($180^\circ + 180^\circ$).
• Radianes: $2 \times \pi = 2\pi \text{ rad}$
• (Es la totalidad del pastel).

$$360^\circ = 2\pi \text{ rad}$$

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Ejemplo 2: Ángulo Nulo ($0^\circ$)

No hemos empezado a girar.

• Media vueltas: 0.
• Radianes: $0 \times \pi = 0 \text{ rad}$

$$0^\circ = 0 \text{ rad}$$

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Ejemplo 3: Media Vuelta ($180^\circ$)

Es nuestra referencia principal.

• Media vueltas: 1 exacta.
• Radianes: $1 \times \pi = \pi \text{ rad}$
• (Es la mitad del pastel).

$$180^\circ = \pi \text{ rad}$$

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Ejemplo 4: Un Cuarto de Vuelta ($90^\circ$)

Es el ángulo recto.

• Media vueltas: Es la mitad de una media vuelta ($180^\circ \div 2$).
• Radianes: $\frac{\pi}{2} \text{ rad}$
• (Es un cuarto del pastel total).

$$90^\circ = \frac{\pi}{2} \text{ rad}$$

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Ejemplo 5: Tres Cuartos de Vuelta ($270^\circ$)

Llegamos abajo, al eje Y negativo.

• Media vueltas: Son 3 mitades de media vuelta ($90^\circ + 90^\circ + 90^\circ$).
• Radianes: $3 \times \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} \text{ rad}$
• (Son tres cuartos del pastel total).

$$270^\circ = \frac{3\pi}{2} \text{ rad}$$

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Ejemplo 6: Mitad de un Cuarto ($45^\circ$)

Es la famosa diagonal.

• Media vueltas: Es la cuarta parte de una media vuelta ($180^\circ \div 4 = 45^\circ$).
• Radianes: $\frac{\pi}{4} \text{ rad}$
• (Es un octavo del pastel total).

$$45^\circ = \frac{\pi}{4} \text{ rad}$$

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Ejemplo 7: Un Sexto de Media Vuelta ($30^\circ$)

Una rebanada delgada.

• Media vueltas: Es la sexta parte de una media vuelta ($180^\circ \div 6 = 30^\circ$).
• Radianes: $\frac{\pi}{6} \text{ rad}$
• (Es un doceavo del pastel total).

$$30^\circ = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Expresa $180^\circ$ en radianes.

Ver solución

Es la equivalencia base.
Resultado: $\boxed{\pi \text{ rad}}$

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Ejercicio 2

Expresa $360^\circ$ en radianes.

Ver solución

Dos vueltas de $180$, o sea $2\pi$.
Resultado: $\boxed{2\pi \text{ rad}}$

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Ejercicio 3

¿A cuántos grados equivale $\pi/3$?

Ver solución

$180 / 3 = 60$.
Resultado: $\boxed{60^\circ}$

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Ejercicio 4

¿Qué es mayor: $90^\circ$ o $2 \text{ radianes}$?

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$1 \text{ rad} \approx 57^\circ$.
$2 \text{ rad} \approx 114^\circ$.
Resultado: $2 \text{ rad}$ es mayor.

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Ejercicio 5

Expresa $0^\circ$ en radianes.

Ver solución

$0 \text{ rad}$.

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Ejercicio 6

Convierte mentalmente $60^\circ$ a radianes.

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60 es un tercio de 180.
Resultado: $\boxed{\pi/3 \text{ rad}}$

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Ejercicio 7

¿Cuántos radianes tiene un cuarto de vuelta?

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$360 / 4 = 90^\circ = \pi/2$.
Resultado: $\boxed{\pi/2 \text{ rad}}$

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Ejercicio 8

¿A cuántos grados equivale $3\pi$ radianes?

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Son 3 medias vueltas. $180 \times 3 = 540$.
Resultado: $\boxed{540^\circ}$

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Ejercicio 9

Simplifica la escritura de "3.14159... radianes".

Ver solución

$\pi \text{ rad}$.

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Ejercicio 10

Verdadero o Falso: Los radianes son una unidad sin dimensiones físicas.

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Verdadero. Es longitud/longitud.

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🔑 Resumen

Conclusión: Olvídate de la fórmula complicada. Solo recuerda que $180^\circ$ es $\pi$. Todo lo demás son fracciones de ese pastel.