Casos Especiales de Factorización

Esta lección cubre situaciones donde se combinan varios métodos de factorización o donde se necesitan técnicas más avanzadas.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• A combinar factor común con otros métodos.
• A factorizar diferencias de cuadrados con binomios dentro.
• A usar sustitución para simplificar expresiones complejas.
• A factorizar expresiones de forma iterada.

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🔍 Casos Principales

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Factor común + diferencia de cuadrados

Factoriza: $3x^3 - 12x$

Datos:

• Hay factor común $3x$.

Razonamiento:

1. Sacamos $3x$:

$$3x(x^2 - 4)$$

2. Adentro es diferencia de cuadrados:

$$3x(x + 2)(x - 2)$$

Resultado: $\boxed{3x(x + 2)(x - 2)}$

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Ejemplo 2: Diferencia de cuadrados con binomio

Factoriza: $(x + 1)^2 - 9$

Datos:

• Identificamos $a = (x + 1)$ y $b = 3$.

Razonamiento:

1. Aplicamos la fórmula:

$$[(x + 1) + 3][(x + 1) - 3]$$

2. Simplificamos:

$$(x + 4)(x - 2)$$

Resultado: $\boxed{(x + 4)(x - 2)}$

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Ejemplo 3: Trinomio con sustitución

Factoriza: $(x + 2)^2 + 5(x + 2) + 6$

Datos:

• Hacemos $u = (x + 2)$.

Razonamiento:

1. Con la sustitución:

$$u^2 + 5u + 6 = (u + 2)(u + 3)$$

2. Reemplazamos:

$$[(x + 2) + 2][(x + 2) + 3] = (x + 4)(x + 5)$$

Resultado: $\boxed{(x + 4)(x + 5)}$

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Ejemplo 4: Agrupación creativa (TCP - cuadrado)

Factoriza: $x^2 + 2xy + y^2 - z^2$

Datos:

• Los primeros tres términos forman un TCP.

Razonamiento:

1. Reconocemos:

$$(x + y)^2 - z^2$$

2. Diferencia de cuadrados:

$$(x + y + z)(x + y - z)$$

Resultado: $\boxed{(x + y + z)(x + y - z)}$

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Ejemplo 5: Factorización iterada

Factoriza completamente: $x^4 - 81$

Datos:

• Es diferencia de cuadrados.

Razonamiento:

1. Primera vuelta:

$$(x^2)^2 - 9^2 = (x^2 + 9)(x^2 - 9)$$

2. El segundo factor se puede factorizar más:

$$(x^2 - 9) = (x + 3)(x - 3)$$

3. El primero no se factoriza (suma de cuadrados).

Resultado: $\boxed{(x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Factoriza: $5x^3 - 20x$

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Datos: Factor común $5x$.
Razonamiento:

$$5x(x^2 - 4) = 5x(x + 2)(x - 2)$$

Resultado: $\boxed{5x(x + 2)(x - 2)}$

Ejercicio 2

Factoriza: $2a^4 - 32$

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Datos: Factor común 2.
Razonamiento:

$$2(a^4 - 16) = 2(a^2 + 4)(a + 2)(a - 2)$$

Resultado: $\boxed{2(a^2 + 4)(a + 2)(a - 2)}$

Ejercicio 3

Factoriza: $(x + 3)^2 - 16$

Ver solución

Datos: $a = (x + 3)$, $b = 4$.
Razonamiento:

$$(x + 3 + 4)(x + 3 - 4) = (x + 7)(x - 1)$$

Resultado: $\boxed{(x + 7)(x - 1)}$

Ejercicio 4

Factoriza: $(2x - 1)^2 - (x + 2)^2$

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Datos: Diferencia de cuadrados.
Razonamiento:

$$(2x - 1 + x + 2)(2x - 1 - x - 2) = (3x + 1)(x - 3)$$

Resultado: $\boxed{(3x + 1)(x - 3)}$

Ejercicio 5

Factoriza usando sustitución: $(x - 2)^2 + 7(x - 2) + 12$

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Datos: Sea $u = (x - 2)$.
Razonamiento:

$$u^2 + 7u + 12 = (u + 3)(u + 4) = (x + 1)(x + 2)$$

Resultado: $\boxed{(x + 1)(x + 2)}$

Ejercicio 6

Factoriza: $(a + 1)^2 - 2(a + 1) - 15$

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Datos: Sea $u = (a + 1)$.
Razonamiento:

$$u^2 - 2u - 15 = (u - 5)(u + 3) = (a - 4)(a + 4)$$

Resultado: $\boxed{(a - 4)(a + 4)}$

Ejercicio 7

Factoriza: $x^2 - 6x + 9 - 4y^2$

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Datos: TCP menos cuadrado.
Razonamiento:

$$(x - 3)^2 - (2y)^2 = (x - 3 + 2y)(x - 3 - 2y)$$

Resultado: $\boxed{(x - 3 + 2y)(x - 3 - 2y)}$

Ejercicio 8

Factoriza: $a^2 - b^2 + a + b$

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Datos: Agrupamos.
Razonamiento:

$$(a + b)(a - b) + (a + b) = (a + b)(a - b + 1)$$

Resultado: $\boxed{(a + b)(a - b + 1)}$

Ejercicio 9

Factoriza completamente: $x^6 - 1$

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Datos: Diferencia de cuadrados + cubos.
Razonamiento:

$$(x^3 + 1)(x^3 - 1) = (x + 1)(x^2 - x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1)$$

Resultado: $\boxed{(x + 1)(x^2 - x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1)}$

Ejercicio 10

Factoriza: $a^6 - 64$

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Datos: $64 = 4^3 = 2^6$.
Razonamiento:

$$(a^3 + 8)(a^3 - 8) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$$

Resultado: $\boxed{(a + 2)(a - 2)(a^2 - 2a + 4)(a^2 + 2a + 4)}$

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🔑 Resumen

Dominar estos casos especiales te permite resolver cualquier problema de factorización, sin importar qué tan complicado parezca al principio.