Sistemas de Ecuaciones 3×3

Un sistema 3×3 es como un rompecabezas tridimensional: tenemos 3 incógnitas ($x, y, z$) y necesitamos 3 pistas (ecuaciones) para resolverlo. Imagina tres aviones volando en el espacio; el punto donde sus trayectorias (planos) se cruzan es nuestra solución.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo visualizar un sistema de 3 ecuaciones con 3 variables.
• La estrategia de reducir un problema "imposible" de 3×3 a uno "fácil" de 2×2.
• Resolución ordenada paso a paso para no perderse en los cálculos.
• Métodos de sustitución y reducción aplicados a 3 variables.

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📐 La Estrategia General

Resolver un sistema 3×3 puede ser largo, pero no difícil si eres ordenado. El plan maestro es:

1. Elegir una pareja de ecuaciones y eliminar una letra (digamos la $z$). Te queda una ecuación con $x$ e $y$.
2. Elegir otra pareja diferente y eliminar LA MISMA letra ($z$). Te queda otra ecuación con $x$ e $y$.
3. ¡Ahora tienes un sistema 2×2! Resuélvelo como ya sabes.
4. Con $x$ y $y$ en mano, regresa a cualquiera de las ecuaciones originales para hallar $z$.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: El Método Paso a Paso

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + y + z = 6 & (1) \\ 2x - y + z = 3 & (2) \\ x + 2y - z = 1 & (3) \end{array} \right.$$

Paso 1: Eliminar $z$ usando (2) y (3)
Como tenemos $+z$ en (2) y $-z$ en (3), las sumamos directo:

$$\begin{array}{rcl} 2x - y + z &=& 3 \\ x + 2y - z &=& 1 \\ \hline 3x + y &=& 4 \quad (A) \end{array}$$

Paso 2: Eliminar $z$ usando (1) y (3)

$$\begin{array}{rcl} x + y + z &=& 6 \\ x + 2y - z &=& 1 \\ \hline 2x + 3y &=& 7 \quad (B) \end{array}$$

Paso 3: Resolver el sistema 2×2 formado por (A) y (B)

$$\left\{ \begin{array}{ll} 3x + y = 4 \\ 2x + 3y = 7 \end{array} \right.$$

Despejamos $y$ de la primera: $y = 4 - 3x$.
Sustituimos en la segunda:

$$2x + 3(4 - 3x) = 7$$ $$2x + 12 - 9x = 7 \implies -7x = -5 \implies x = 5/7 \quad (\text{¡Ups, fracción!})$$

Mejor usemos reducción en este 2×2 también.
Multiplicamos (A) por -3:

$$-9x - 3y = -12$$

Sumamos con (B):

$$\begin{array}{rcl} -9x - 3y &=& -12 \\ 2x + 3y &=& 7 \\ \hline -7x \quad &=& -5 \implies x = 5/7 \end{array}$$

Hallamos $y$:

$$y = 4 - 3(5/7) = 28/7 - 15/7 = 13/7$$

Paso 4: Hallar $z$ en la original (1)

$$5/7 + 13/7 + z = 6$$ $$18/7 + z = 42/7$$ $$z = 24/7$$

Resultado:

$$\boxed{x = \frac{5}{7}, \quad y = \frac{13}{7}, \quad z = \frac{24}{7}}$$

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Ejemplo 2: Más Sencillo (Números Enteros)

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + y - z = 4 & (1) \\ x - 2y + z = 5 & (2) \\ 3x + y + z = 19 & (3) \end{array} \right.$$

Paso 1: Eliminar $z$ (sumando 1 y 2)

$$2x - y = 9 \quad (A)$$

Paso 2: Eliminar $z$ (sumando 1 y 3)

$$4x + 2y = 23 \quad (B)$$

Paso 3: Resolver 2×2
De (A): $y = 2x - 9$.
Sustituimos en (B):

$$4x + 2(2x - 9) = 23$$ $$4x + 4x - 18 = 23$$ $$8x = 41 \implies x = 41/8$$

Hallamos $y$:

$$y = 2(41/8) - 9 = 41/4 - 36/4 = 5/4$$

Paso 4: Hallar $z$ en (2)

$$41/8 - 2(5/4) + z = 5$$ $$41/8 - 20/8 + z = 40/8$$ $$21/8 + z = 40/8 \implies z = 19/8$$

Resultado:

$$\boxed{x = \frac{41}{8}, \quad y = \frac{5}{4}, \quad z = \frac{19}{8}}$$

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Ejemplo 3: Sistema "Escalonado"

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + 2y - z = 3 & (1) \\ 3y + z = 10 & (2) \\ 2z = 4 & (3) \end{array} \right.$$

Razonamiento:
Este sistema es un regalo. Ya está semi-resuelto. Vamos de abajo hacia arriba (sustitución hacia atrás).

1. De (3): $2z = 4 \implies z = 2$.
2. En (2): $3y + 2 = 10 \implies 3y = 8 \implies y = 8/3$.
3. En (1): $x + 2(8/3) - 2 = 3$. $$x + 16/3 - 6/3 = 9/3$$ $$x + 10/3 = 9/3 \implies x = -1/3$$

Resultado:

$$\boxed{x = -1/3, \quad y = 8/3, \quad z = 2}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Resuelve:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 0 \end{array} \right.$$

Ver solución

Sumando 1ª y 3ª: $2x + 2y = 6$.
Sumando 1ª y 2ª: $2x + 2z = 8$.
Sumando 2ª y 3ª: $2x = 2 \implies x=1$.
$y=2, z=3$.
Resultado: $\boxed{(1, 2, 3)}$

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Ejercicio 2

Resuelve el sistema escalonado:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + y + z = 10 \\ y + z = 7 \\ z = 3 \end{array} \right.$$

Ver solución

$z=3$.
$y+3=7 \implies y=4$.
$x+4+3=10 \implies x=3$.
Resultado: $\boxed{(3, 4, 3)}$

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Ejercicio 3

Resuelve:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + z = 4 \\ y - z = 1 \\ x + y = 5 \end{array} \right.$$

Ver solución

Sumando todo: $2x + 2y = 10$.
$x=2, y=3, z=2$.
Resultado: $\boxed{(2, 3, 2)}$

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Ejercicio 4

Resuelve:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + y = 3 \\ y + z = 5 \\ x + z = 4 \end{array} \right.$$

Ver solución

Sumando todo: $2(x+y+z) = 12 \implies x+y+z=6$.
Restamos cada ec:
$(x+y+z) - (x+y) = z \implies z = 3$.
$x=1, y=2$.
Resultado: $\boxed{(1, 2, 3)}$

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Ejercicio 5

Resuelve:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x - z = 0 \implies x=z \\ y + z = 10 \\ x + y + z = 15 \end{array} \right.$$

Ver solución

Sustituir $x=z$:
$z + y + z = 15 \implies y + 2z = 15$.
Tenemos $y + z = 10$.
Restar: $z = 5$.
$x=5, y=5$.
Resultado: $\boxed{(5, 5, 5)}$

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Ejercicio 6

Resuelve:

$$\left\{ \begin{array}{ll} 2x - y + z = 3 \\ 2y - z = 1 \\ -x + y = 1 \end{array} \right.$$

Ver solución

Despejo $y = x+1$.
$2(x+1) - z = 1 \implies 2x+2-z=1 \implies z = 2x+1$.
Sustituyo en 1ª: $2x - (x+1) + (2x+1) = 3$.
$3x = 3 \implies x=1$.
$y=2, z=3$.
Resultado: $\boxed{(1, 2, 3)}$

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Ejercicio 7

Resuelve:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + y + z = 3 \\ 2x + 2y + 2z = 6 \\ x - y = 0 \end{array} \right.$$

Ver solución

1ª y 2ª son la misma (multiplicada pot 2). Infinitas soluciones.
Restricción: $x=y$.
$2x + z = 3$.
Resultado: $\boxed{\text{Infinitas Soluciones}}$

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Ejercicio 8

Resuelve:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + y + z = 12 \\ 2x = 10 \\ 3y = 9 \end{array} \right.$$

Ver solución

$x=5, y=3$.
$5+3+z=12 \implies z=4$.
Resultado: $\boxed{(5, 3, 4)}$

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Ejercicio 9

Resuelve:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + y = 3 \\ z = 5 \\ x - y = 1 \end{array} \right.$$

Ver solución

2x = 4 \implies x=2.
y = 1.
z = 5.
Resultado: $\boxed{(2, 1, 5)}$

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Ejercicio 10

Resuelve:

$$\left\{ \begin{array}{ll} 3x + 2y + z = 1 \\ 5x + 3y + 4z = 2 \\ x + y - z = 1 \end{array} \right.$$

Ver solución

Sumando 1ª y 3ª: $4x + 3y = 2$.
Sumando 3ª por 4 y 2ª: $4x + 4y - 4z = 4 \dots 9x + 7y = 6$.
Resolver sistema 2x2. $x=-4, y=6, z=-1$.
Resultado: $\boxed{(-4, 6, -1)}$

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🔑 Resumen

Conclusión: Resolver un 3×3 requiere paciencia y papel. Si mantienes el orden, es simplemente resolver tres sistemas pequeños uno tras otro.