Representación en el Plano Complejo

Si los números reales viven en una recta (la recta numérica), ¿dónde viven los números complejos? Necesitan más espacio. Viven en un plano. Imagina un mapa de coordenadas: el eje horizontal es para la parte real y el vertical para la parte imaginaria.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo dibujar números complejos en el Plano de Argand.
• Dónde colocar los reales puros y los imaginarios puros.
• Cómo identificar el cuadrante de un número complejo.
• La interpretación geométrica de sumar complejos (el "Método del Paralelogramo").

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📍 El Plano de Argand

Es idéntico al plano cartesiano que ya conoces, solo cambiamos los nombres:

• Eje horizontal: Eje Real (Re).
• Eje vertical: Eje Imaginario (Im).

Para graficar un número complejo:

$$z = a + bi$$

Simplemente buscamos el punto:

$$(a, b)$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Primer Cuadrante

Grafica:

$$z = 3 + 2i$$

Razonamiento:

1. Identificamos la Parte Real:

$$a = 3$$

2. Identificamos la Parte Imaginaria:

$$b = 2$$

3. El punto en el plano es:

$$(3, 2)$$

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Ejemplo 2: Segundo Cuadrante

Grafica:

$$z = -4 + i$$

Razonamiento:

1. Parte Real:

$$a = -4$$

2. Parte Imaginaria:

$$b = 1$$

3. El punto es:

$$(-4, 1)$$

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Ejemplo 3: Tercer Cuadrante

Grafica:

$$z = -2 - 3i$$

Razonamiento:

1. Parte Real:

$$a = -2$$

2. Parte Imaginaria:

$$b = -3$$

3. El punto es:

$$(-2, -3)$$

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Ejemplo 4: Cuarto Cuadrante

Grafica:

$$z = 5 - 4i$$

Razonamiento:

1. Parte Real:

$$a = 5$$

2. Parte Imaginaria:

$$b = -4$$

3. El punto es:

$$(5, -4)$$

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Ejemplo 5: Ejes (Casos Especiales)

• Real Puro:

$$z = 6$$

Va en el punto:

$$(6, 0)$$

• Imaginario Puro:

$$z = -3i$$

Va en el punto:

$$(0, -3)$$

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📐 Suma Gráfica (Vectores)

Podemos ver los números complejos como flechas (vectores) que salen del origen $(0,0)$.
Para sumarlos gráficamente, usamos la Ley del Paralelogramo:

Si sumas:

$$z_1 + z_2$$

Colocas la cola de la flecha de $z_2$ en la punta de la flecha de $z_1$. El punto final es la suma.

Ejemplo 6: Suma Visual

Suma visualmente:

$$z_1 = 3 + i$$ $$z_2 = 1 + 2i$$

1. Dibuja la flecha al punto:

$$(3, 1)$$

2. Desde ahí, desplázate 1 unidad a la derecha y 2 unidades arriba.
3. Llegas al punto final:

$$(4, 3)$$

Efectivamente:

$$(3+1) + (1+2)i = 4 + 3i$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Determina las coordenadas $(x, y)$ para:

$$z = 2 + 5i$$

Ver solución

$$(2, 5)$$

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Ejercicio 2

Determina las coordenadas para:

$$z = -3 + 4i$$

Ver solución

$$(-3, 4)$$

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Ejercicio 3

¿En qué cuadrante está el número?

$$z = -1 - i$$

Ver solución

Cuadrante III (porque tanto la parte real como la imaginaria son negativas).

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Ejercicio 4

¿En qué cuadrante está el número?

$$z = 7 - 2i$$

Ver solución

Cuadrante IV (parte real positiva, parte imaginaria negativa).

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Ejercicio 5

¿Sobre qué eje está el siguiente número?

$$z = 10i$$

Ver solución

Eje Imaginario (Vertical).

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Ejercicio 6

Determina el punto para el opuesto de:

$$z = 2 + 2i$$

Ver solución

1. El opuesto es:

$$-z = -2 - 2i$$

2. El punto es:

$$(-2, -2)$$

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Ejercicio 7

Determina el punto para el conjugado de:

$$z = -3 + i$$

Ver solución

1. El conjugado es:

$$\bar{z} = -3 - i$$

2. El punto es:

$$(-3, -1)$$

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Ejercicio 8

Si sumas gráficamente $(2,0)$ y $(0,3)$, ¿dónde terminas?

Ver solución

En el punto:

$$(2, 3)$$

Que representa a:

$$2 + 3i$$

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Ejercicio 9

Describe la posición de:

$$z = -5$$

Ver solución

Sobre el eje real negativo, punto:

$$(-5, 0)$$

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Ejercicio 10

¿Qué punto representa el origen?

Ver solución

$$(0, 0)$$

O también:

$$0 + 0i$$

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🔑 Resumen

Conclusión: El plano complejo es una herramienta visual que nos permite tratar a los números complejos como puntos o vectores bidimensionales, facilitando operaciones como la suma y la resta.