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Lección

Suma y Diferencia de Cubos

🧮 Matemáticas › Álgebra › Factorización

Suma y Diferencia de Cubos

Este caso de factorización se aplica cuando tienes exactamente dos términos que son cubos perfectos, ya sea sumados o restados.

🎯 ¿Qué vas a aprender?

  • A identificar cubos perfectos en números y variables.
  • A aplicar la fórmula de suma de cubos.
  • A aplicar la fórmula de diferencia de cubos.
  • A factorizar expresiones con coeficientes y variables elevadas.

🔍 ¿Qué es un cubo perfecto?

Un cubo perfecto es un número o expresión que tiene raíz cúbica exacta.

NúmeroCuboRaíz cúbica
1131^31
8232^32
27333^33
64434^34
125535^35

Para variables: x3x^3 tiene raíz xx, x6x^6 tiene raíz x2x^2, x9x^9 tiene raíz x3x^3.

📐 Las Fórmulas

Suma de cubos:

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)\boxed{a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)}

Diferencia de cubos:

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)\boxed{a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)}

Cómo recordarlas:

  • El primer paréntesis tiene el mismo signo que la expresión original.
  • El término del medio del segundo paréntesis tiene el signo contrario.
  • El último término siempre es positivo.

⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Suma de cubos básica

Factoriza: x3+8x^3 + 8

Datos:

  • x3=(x)3x^3 = (x)^3
  • 8=(2)38 = (2)^3

Razonamiento:

  1. Identificamos a=xa = x y b=2b = 2.

  2. Aplicamos la fórmula de suma.

  3. Primer factor:

(x+2)(x + 2)
  1. Segundo factor:
x2−x⋅2+22=x2−2x+4x^2 - x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 2x + 4

Resultado: (x+2)(x2−2x+4)\boxed{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}

Ejemplo 2: Diferencia de cubos básica

Factoriza: x3−27x^3 - 27

Datos:

  • x3=(x)3x^3 = (x)^3
  • 27=(3)327 = (3)^3

Razonamiento:

  1. Identificamos a=xa = x y b=3b = 3.

  2. Aplicamos la fórmula de diferencia.

  3. Primer factor:

(x−3)(x - 3)
  1. Segundo factor:
x2+3x+9x^2 + 3x + 9

Resultado: (x−3)(x2+3x+9)\boxed{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}

Ejemplo 3: Suma con coeficientes

Factoriza: 8x3+278x^3 + 27

Datos:

  • 8x3=(2x)38x^3 = (2x)^3
  • 27=(3)327 = (3)^3

Razonamiento:

  1. Aquí a=2xa = 2x y b=3b = 3.

  2. Primer factor:

(2x+3)(2x + 3)
  1. Segundo factor:
(2x)2−(2x)(3)+(3)2=4x2−6x+9(2x)^2 - (2x)(3) + (3)^2 = 4x^2 - 6x + 9

Resultado: (2x+3)(4x2−6x+9)\boxed{(2x + 3)(4x^2 - 6x + 9)}

Ejemplo 4: Diferencia con dos variables

Factoriza: 27a3−64b327a^3 - 64b^3

Datos:

  • 27a3=(3a)327a^3 = (3a)^3
  • 64b3=(4b)364b^3 = (4b)^3

Razonamiento:

  1. Aquí a=3aa = 3a y b=4bb = 4b.

  2. Primer factor:

(3a−4b)(3a - 4b)
  1. Segundo factor:
(3a)2+(3a)(4b)+(4b)2=9a2+12ab+16b2(3a)^2 + (3a)(4b) + (4b)^2 = 9a^2 + 12ab + 16b^2

Resultado: (3a−4b)(9a2+12ab+16b2)\boxed{(3a - 4b)(9a^2 + 12ab + 16b^2)}

Ejemplo 5: Con factor común

Factoriza: 2x3+162x^3 + 16

Datos:

  • Hay factor común 2.

Razonamiento:

  1. Sacamos el factor común:
2(x3+8)2(x^3 + 8)
  1. Adentro es suma de cubos:
x3+23x^3 + 2^3
  1. Factorizamos:
2(x+2)(x2−2x+4)2(x + 2)(x^2 - 2x + 4)

Resultado: 2(x+2)(x2−2x+4)\boxed{2(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}

📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Factoriza: x3+64x^3 + 64

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Datos: 64=4364 = 4^3
Razonamiento:

(x+4)(x2−4x+16)(x + 4)(x^2 - 4x + 16)

Resultado: (x+4)(x2−4x+16)\boxed{(x + 4)(x^2 - 4x + 16)}

Ejercicio 2

Factoriza: a3−125a^3 - 125

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Datos: 125=53125 = 5^3
Razonamiento:

(a−5)(a2+5a+25)(a - 5)(a^2 + 5a + 25)

Resultado: (a−5)(a2+5a+25)\boxed{(a - 5)(a^2 + 5a + 25)}

Ejercicio 3

Factoriza: m3+1m^3 + 1

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Datos: 1=131 = 1^3
Razonamiento:

(m+1)(m2−m+1)(m + 1)(m^2 - m + 1)

Resultado: (m+1)(m2−m+1)\boxed{(m + 1)(m^2 - m + 1)}

Ejercicio 4

Factoriza: n3−1n^3 - 1

Ver solución

Datos: 1=131 = 1^3
Razonamiento:

(n−1)(n2+n+1)(n - 1)(n^2 + n + 1)

Resultado: (n−1)(n2+n+1)\boxed{(n - 1)(n^2 + n + 1)}

Ejercicio 5

Factoriza: 8x3+18x^3 + 1

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Datos: 8x3=(2x)38x^3 = (2x)^3
Razonamiento:

(2x+1)(4x2−2x+1)(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)

Resultado: (2x+1)(4x2−2x+1)\boxed{(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)}

Ejercicio 6

Factoriza: 27a3−827a^3 - 8

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Datos: 27a3=(3a)327a^3 = (3a)^3, 8=238 = 2^3
Razonamiento:

(3a−2)(9a2+6a+4)(3a - 2)(9a^2 + 6a + 4)

Resultado: (3a−2)(9a2+6a+4)\boxed{(3a - 2)(9a^2 + 6a + 4)}

Ejercicio 7

Factoriza: 64m3+125n364m^3 + 125n^3

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Datos: (4m)3(4m)^3 y (5n)3(5n)^3
Razonamiento:

(4m+5n)(16m2−20mn+25n2)(4m + 5n)(16m^2 - 20mn + 25n^2)

Resultado: (4m+5n)(16m2−20mn+25n2)\boxed{(4m + 5n)(16m^2 - 20mn + 25n^2)}

Ejercicio 8

Factoriza: x6−y6x^6 - y^6

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Datos: (x2)3(x^2)^3 y (y2)3(y^2)^3
Razonamiento:

(x2−y2)(x4+x2y2+y4)(x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)

Nota: el primer factor se puede factorizar más.

Resultado: (x2−y2)(x4+x2y2+y4)\boxed{(x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)}

Ejercicio 9

Factoriza sacando primero factor común: 3x3+243x^3 + 24

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Datos: Factor común 3: 3(x3+8)3(x^3 + 8)
Razonamiento:

3(x+2)(x2−2x+4)3(x + 2)(x^2 - 2x + 4)

Resultado: 3(x+2)(x2−2x+4)\boxed{3(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}

Ejercicio 10

Factoriza: 2a4−54a2a^4 - 54a

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Datos: Factor común 2a2a: 2a(a3−27)2a(a^3 - 27)
Razonamiento:

2a(a−3)(a2+3a+9)2a(a - 3)(a^2 + 3a + 9)

Resultado: 2a(a−3)(a2+3a+9)\boxed{2a(a - 3)(a^2 + 3a + 9)}

🔑 Resumen

CasoFórmulaResultado
Sumaa3+b3a^3 + b^3(a+b)(a2−ab+b2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)
Diferenciaa3−b3a^3 - b^3(a−b)(a2+ab+b2)(a - b)(a^2 + ab + b^2)

El trinomio del segundo factor (a2±ab+b2a^2 \pm ab + b^2) no se puede factorizar más con números reales.