Método de Reducción (Eliminación)

Este método es el favorito de muchos porque va directo al grano: sumar o restar las ecuaciones completas para que una de las letras "desaparezca" mágicamente. Es como enfrentar dos ejércitos: si tienes 5 soldados positivos y 5 negativos, se anulan mutuamente y el campo queda despejado.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo eliminar una incógnita sumando verticalmente.
• Multiplicar ecuaciones enteras para preparar el terreno.
• Manejar signos para lograr la cancelación perfecta.
• La estrategia del MCM aplicada a sistemas de ecuaciones.

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➕ El Arte de Sumar Ecuaciones

Si $A=B$ y $C=D$, entonces $A+C = B+D$. ¡Podemos sumar igualdades!
El truco es lograr que al sumar, una de las variables tenga coeficientes opuestos (ej: $3x$ y $-3x$), para que el resultado sea cero.

Pasos:

1. Alinear: Asegúrate de que las $x$, las $y$ y los números estén en columnas ordenadas.
2. Preparar: Multiplica una (o ambas) ecuaciones para que los números de la letra que quieres borrar sean iguales pero con signo contrario.
3. Sumar: Suma las dos ecuaciones verticalmente. ¡Una letra morirá!
4. Resolver y Recuperar: Resuelve lo que quedó y busca la otra incógnita.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: El Caso Perfecto

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{array} \right.$$

Razonamiento:
Fíjate en las $y$. Tenemos $+y$ arriba y $-y$ abajo. ¡Ya están listas para cancelarse!

Sumamos verticalmente:

$$\begin{array}{rcl} x + y &=& 7 \\ x - y &=& 3 \\ \hline 2x + 0 &=& 10 \end{array}$$

Resolver:

$$2x = 10 \implies x = 5$$

Recuperar:
Sustituimos $x=5$ en la primera ecuación:

$$5 + y = 7 \implies y = 2$$

Resultado:

$$\boxed{x = 5, \quad y = 2}$$

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Ejemplo 2: Multiplicar una Ecuación

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + 3y = 7 \\ 2x - y = 7 \end{array} \right.$$

Estrategia: Queremos eliminar la $y$. Arriba hay $3y$, abajo $-y$. Si multiplicamos la de abajo por 3, tendremos $-3y$.

Operación:
Dejamos la 1ª igual:

$$x + 3y = 7$$

Multiplicamos la 2ª por 3:

$$3(2x - y) = 3(7) \implies 6x - 3y = 21$$

Suma:

$$\begin{array}{rcl} x + 3y &=& 7 \\ 6x - 3y &=& 21 \\ \hline 7x \quad &=& 28 \end{array}$$

Resolver:

$$x = 4$$

Recuperar: (en la original 2ª)

$$2(4) - y = 7 \implies 8 - y = 7 \implies y = 1$$

Resultado:

$$\boxed{x = 4, \quad y = 1}$$

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Ejemplo 3: Reducción Doble (MCM)

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} 3x + 4y = 25 \\ 2x - 3y = 6 \end{array} \right.$$

Estrategia: Eliminar $y$. Coeficientes 4 y 3. El MCM es 12.

• Multiplicamos la 1ª por 3 (para tener $12y$).
• Multiplicamos la 2ª por 4 (para tener $-12y$).

Preparación:

$$\begin{array}{ll} 3(3x + 4y = 25) & \implies 9x + 12y = 75 \\ 4(2x - 3y = 6) & \implies 8x - 12y = 24 \end{array}$$

Suma:

$$\begin{array}{rcl} 9x + 12y &=& 75 \\ 8x - 12y &=& 24 \\ \hline 17x \quad &=& 99 \end{array}$$

Resolver:

$$x = \frac{99}{17}$$

Para hallar $y$, podemos sustituir o... ¡hacer reducción de nuevo para eliminar $x$!
MCM de $3x$ y $2x$ es 6.

• 1ª por -2: $-6x - 8y = -50$
• 2ª por 3: $6x - 9y = 18$

Suma: $-17y = -32 \implies y = \frac{32}{17}$.

Resultado:

$$\boxed{x = \frac{99}{17}, \quad y = \frac{32}{17}}$$

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Ejemplo 4: Signos Iguales

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} 5x + y = 10 \\ 2x + y = 4 \end{array} \right.$$

Estrategia: Las $y$ son iguales. Restamos las ecuaciones (o multiplicamos una por -1).

Multiplicar la 2ª por -1:

$$\begin{array}{rcl} 5x + y &=& 10 \\ -2x - y &=& -4 \\ \hline 3x \quad &=& 6 \end{array}$$

Resolver:

$$3x = 6 \implies x = 2$$

Recuperar:

$$2(2) + y = 4 \implies 4 + y = 4 \implies y = 0$$

Resultado:

$$\boxed{x = 2, \quad y = 0}$$

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Ejemplo 5: Sistema Incompatible

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} 2x - y = 4 \\ -4x + 2y = 8 \end{array} \right.$$

Estrategia: Multiplicar la 1ª por 2.

$$4x - 2y = 8$$

Sumar con la 2ª:

$$\begin{array}{rcl} 4x - 2y &=& 8 \\ -4x + 2y &=& 8 \\ \hline 0 \quad &=& 16 \end{array}$$

¡Imposible!

Resultado:

$$\boxed{\text{Sin Solución}}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejemplo 1

Resuelve: $\begin{cases} 3x + y = 10 \\ 2x - y = 5 \end{cases}$

Ver solución

Suma directa: $5x = 15 \implies x=3$.
$3(3) + y = 10 \implies y = 1$.
Resultado: $\boxed{(3, 1)}$

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Ejemplo 2

Resuelve: $\begin{cases} x + 2y = 8 \\ x - 2y = 4 \end{cases}$

Ver solución

Suma directa: $2x = 12 \implies x=6$.
$6 - 2y = 4 \implies 2 = 2y \implies y=1$.
Resultado: $\boxed{(6, 1)}$

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Ejemplo 3

Resuelve: $\begin{cases} 5x + 3y = 20 \\ 2x + y = 9 \end{cases}$

Ver solución

2ª por -3: $-6x - 3y = -27$.
Suma: $-x = -7 \implies x=7$.
$2(7) + y = 9 \implies y = -5$.
Resultado: $\boxed{(7, -5)}$

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Ejemplo 4

Resuelve: $\begin{cases} 3x - 4y = 6 \\ x + 2y = 12 \end{cases}$

Ver solución

2ª por 2: $2x + 4y = 24$.
Suma: $5x = 30 \implies x=6$.
$6 + 2y = 12 \implies 2y = 6 \implies y=3$.
Resultado: $\boxed{(6, 3)}$

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Ejemplo 5

Resuelve: $\begin{cases} 4x + 9y = 1 \\ 4x + 9y = 2 \end{cases}$

Ver solución

Restar: $0 = -1$.
Resultado: $\boxed{\text{Sin Solución}}$

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Ejemplo 6

Resuelve: $\begin{cases} 10x - 3y = 36 \\ 2x + 5y = -4 \end{cases}$

Ver solución

2ª por -5: $-10x - 25y = 20$.
Suma: $-28y = 56 \implies y=-2$.
$2x + 5(-2) = -4 \implies 2x = 6 \implies x=3$.
Resultado: $\boxed{(3, -2)}$

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Ejemplo 7

Resuelve: $\begin{cases} 7x + 2y = 10 \\ 7x + 2y = 10 \end{cases}$

Ver solución

Restar: $0=0$.
Resultado: $\boxed{\text{Infinitas Soluciones}}$

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Ejemplo 8

Resuelve: $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 4x - 3y = -2 \end{cases}$

Ver solución

1ª por 3, 2ª por 2.
$9x + 6y = 21$
$8x - 6y = -4$
$17x = 17 \implies x=1$.
$y=2$.
Resultado: $\boxed{(1, 2)}$

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Ejemplo 9

Resuelve: $\begin{cases} x + y = 50 \\ x - y = 10 \end{cases}$

Ver solución

Suma: $2x = 60 \implies x=30$.
$y=20$.
Resultado: $\boxed{(30, 20)}$

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Ejemplo 10

Resuelve: $\begin{cases} 2x - 5y = 1 \\ 3x + 2y = 11 \end{cases}$

Ver solución

1ª por 2, 2ª por 5.
$4x - 10y = 2$
$15x + 10y = 55$
$19x = 57 \implies x=3$.
$y=1$.
Resultado: $\boxed{(3, 1)}$

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🔑 Resumen

Conclusión: La reducción es el método más potente para sistemas complicados o con número grandes. Es limpio, ordenado y evita tener que trabajar con fracciones en la mitad del proceso.