Factorial de un Número

Imagina que tienes 3 libros favoritos y quieres ordenarlos en una repisa. ¿De cuántas formas distintas puedes hacerlo? Al intentar contar todas las combinaciones posibles, descubres una operación matemática fundamental para el conteo y la probabilidad.

Esa operación que multiplica números en escalera descendente se llama Factorial.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Qué significa el símbolo $!$ en matemáticas.
• Cómo calcular factoriales de números pequeños y grandes.
• Por qué el factorial de cero es 1 ($0! = 1$).
• Cómo simplificar divisiones de factoriales sin usar calculadora.

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📚 El Concepto: Ordenando cosas

Vamos a resolver el problema de los libros de forma inductiva.

1. Con 1 libro

Solo hay 1 forma de ponerlo.

$$1 = 1$$

2. Con 2 libros (A y B)

Puedes poner A-B o B-A. Son 2 formas.

$$2 \times 1 = 2$$

3. Con 3 libros (A, B y C)

Para la primera posición tienes 3 opciones. Para la segunda te quedan 2. Para la última solo 1.

$$3 \times 2 \times 1 = 6$$

4. Con 4 libros

Siguiendo la lógica:

$$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$

A este patrón de multiplicar un número por todos sus anteriores hasta llegar al 1 lo llamamos Factorial y se escribe con un signo de exclamación ($n!$).

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📝 Definición Formal

El factorial de un número entero positivo $n$ es el producto de todos los enteros positivos desde $n$ hasta $1$.

Fórmula:

$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1$$

Casos Especiales Importantes

Hay dos valores que debes memorizar por convención matemática (para que las fórmulas funcionen):

Factorial de 1:

$$1! = 1$$

Factorial de 0:

$$0! = 1$$

💡 Nota: ¡No es cero! Si fuera cero, muchas fórmulas de probabilidad se romperían.

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⚡ Propiedad Clave: La Recursividad

Observa esto con atención. Calculemos $5!$:

$$5! = 5 \times \underbrace{4 \times 3 \times 2 \times 1}_{Esto es 4!}$$

Entonces podemos escribir:

$$5! = 5 \times 4!$$

Regla General:
Cualquier factorial se puede escribir como el número multiplicado por el factorial del anterior.

$$n! = n \times (n-1)!$$

Esta propiedad es el truco secreto para simplificar fracciones.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Cálculo directo

Calcula el valor de $6!$.

Razonamiento:
Multiplicamos desde el 6 bajando hasta el 1.

$$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$$ $$6! = 720$$

Resultado:

$$\boxed{720}$$

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Ejemplo 2: Simplificación de fracciones (El truco)

Simplifica la expresión $\frac{8!}{6!}$.

Razonamiento:
No calcules $8!$ (40,320) y luego dividas. Usa la propiedad recursiva.
Desarrolla el $8!$ solo hasta llegar al $6!$ para poder cancelar.

$$\frac{8!}{6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{6!}$$

Cancelamos $6!$ arriba y abajo:

$$= 8 \times 7$$ $$= 56$$

Resultado:

$$\boxed{56}$$

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Ejemplo 3: Simplificación con variables

Simplifica la expresión $\frac{n!}{(n-1)!}$.

Razonamiento:
Aplicamos la misma lógica. El de arriba ($n$) es mayor que el de abajo ($n-1$). Desarrollamos el de arriba.

$$\frac{n \times (n-1)!}{(n-1)!}$$

Cancelamos $(n-1)!$:

$$= n$$

Resultado:

$$\boxed{n}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Calcula el valor de $4!$.

Ver solución

Razonamiento:

$$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1$$ $$= 24$$

Resultado:

$$\boxed{24}$$

Ejercicio 2

Calcula el valor de $\frac{5!}{3!}$.

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Razonamiento:

$$\frac{5 \times 4 \times 3!}{3!}$$ $$= 5 \times 4$$

Resultado:

$$\boxed{20}$$

Ejercicio 3

Calcula $3! + 0!$.

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Razonamiento:
Recordamos que $3! = 6$ y $0! = 1$.

$$6 + 1$$

Resultado:

$$\boxed{7}$$

Ejercicio 4

Simplifica $\frac{10!}{8!}$.

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Razonamiento:

$$\frac{10 \times 9 \times 8!}{8!}$$ $$= 10 \times 9$$

Resultado:

$$\boxed{90}$$

Ejercicio 5

Simplifica $\frac{12!}{10! \cdot 2!}$.

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Razonamiento:

$$\frac{12 \times 11 \times 10!}{10! \times (2 \times 1)}$$ $$= \frac{12 \times 11}{2}$$ $$= \frac{132}{2}$$

Resultado:

$$\boxed{66}$$

Ejercicio 6

Simplifica la expresión $\frac{(n+2)!}{(n+1)!}$.

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Razonamiento:
Desarrollamos el mayor ($n+2$) hasta llegar al menor ($n+1$).

$$\frac{(n+2) \times (n+1)!}{(n+1)!}$$ $$= n+2$$

Resultado:

$$\boxed{n+2}$$

Ejercicio 7

Calcula $\frac{7! - 6!}{5!}$.

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Razonamiento:
Podemos separar la fracción o factorizar.
Opción 1 (separar):

$$\frac{7!}{5!} - \frac{6!}{5!}$$ $$= (7 \times 6) - 6$$ $$= 42 - 6$$

Resultado:

$$\boxed{36}$$

Ejercicio 8

Simplifica $\frac{n!}{(n-2)!}$.

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Razonamiento:
Desarrollamos $n!$ dos pasos hasta llegar a $(n-2)!$.

$$\frac{n \times (n-1) \times (n-2)!}{(n-2)!}$$ $$= n(n-1)$$ $$= n^2 - n$$

Resultado:

$$\boxed{n(n-1)}$$

Ejercicio 9

Si $(x+1)! = 6$, halla el valor de $x$.

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Razonamiento:
Sabemos que $3! = 6$.
Por tanto:

$$x + 1 = 3$$ $$x = 2$$

Resultado:

$$\boxed{2}$$

Ejercicio 10

Calcula $\frac{100!}{99!}$.

Ver solución

Razonamiento:

$$\frac{100 \times 99!}{99!}$$ $$= 100$$

Resultado:

$$\boxed{100}$$

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🔑 Resumen

El factorial es la base para contar combinaciones y entender el Binomio de Newton. Recuerda siempre simplificar antes de multiplicar números gigantes.