Suma y Resta de Complejos

Sumar números complejos es la operación más intuitiva que existe en este tema: simplemente seguimos la lógica de "peras con peras, manzanas con manzanas". Agrupamos lo real con lo real y lo imaginario con lo imaginario.

---

🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo sumar dos números complejos.
• Cómo restar números complejos (¡cuidado con los signos!).
• Cómo simplificar expresiones con paréntesis y signos negativos.
• Propiedades básicas de la suma y resta de conjugados.

---

➕ Regla de Suma y Resta

Para operar complejos, tratamos a la $i$ como si fuera una variable $x$ en álgebra:

1. Sumas las Partes Reales entre sí.
2. Sumas las Partes Imaginarias entre sí.

Fórmulas

$$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$ $$(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$$

---

⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Suma Básica

Calcula $(3 + 2i) + (5 + 4i)$.

Razonamiento:
Agrupamos reales ($3+5$) y agrupamos imaginarios ($2+4$).

$$(3 + 5) + (2 + 4)i$$

Resultado:

$$\boxed{8 + 6i}$$

---

Ejemplo 2: Resta (Distribución del Signo)

Calcula $(6 + 5i) - (2 + 3i)$.

Razonamiento:
El signo menos afecta a todo el paréntesis de la derecha. Es como multiplicar por -1.
$(6 + 5i) - 2 - 3i$.

Ahora agrupamos:

• Reales: $6 - 2 = 4$
• Imaginarios: $5i - 3i = 2i$

Resultado:

$$\boxed{4 + 2i}$$

---

Ejemplo 3: Resta con Negativos

Calcula $(4 - 2i) - (-3 + 5i)$.

Razonamiento:
Cuidado con el doble negativo: $-(-3)$ se vuelve $+3$, y $-(+5i)$ se vuelve $-5i$.

$$4 - 2i + 3 - 5i$$

Agrupamos:

• Reales: $4 + 3 = 7$.
• Imaginarios: $-2i - 5i = -7i$.

Resultado:

$$\boxed{7 - 7i}$$

---

Ejemplo 4: Suma con Conjugados

Suma $z = 3 + 4i$ con su conjugado $\bar{z} = 3 - 4i$.

Razonamiento:

$$(3 + 4i) + (3 - 4i)$$

Observa que las partes imaginarias ($4i$ y $-4i$) se cancelan.

$$3 + 3$$

Resultado:

$$\boxed{6}$$

Propiedad: La suma de un complejo y su conjugado siempre es un número real.

---

📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Suma $(2 + 3i) + (4 + i)$.

Ver solución

$$(2+4) + (3+1)i = 6 + 4i$$

Resultado: $\boxed{6 + 4i}$

---

Ejercicio 2

Resta $(8 + 5i) - (2 + 2i)$.

Ver solución

$$(8-2) + (5-2)i = 6 + 3i$$

Resultado: $\boxed{6 + 3i}$

---

Ejercicio 3

Suma $(-3 + 4i) + (5 - 6i)$.

Ver solución

$$(-3+5) + (4-6)i = 2 - 2i$$

Resultado: $\boxed{2 - 2i}$

---

Ejercicio 4

Resta $(2 - i) - (5 - 3i)$.

Ver solución

$$2 - i - 5 + 3i = -3 + 2i$$

Resultado: $\boxed{-3 + 2i}$

---

Ejercicio 5

Calcula $5 + (2 - 3i)$.

Ver solución

Solo sumamos la parte real.

$$7 - 3i$$

Resultado: $\boxed{7 - 3i}$

---

Ejercicio 6

Calcula $(4i) - (3 - i)$.

Ver solución

$$4i - 3 + i = -3 + 5i$$

Resultado: $\boxed{-3 + 5i}$

---

Ejercicio 7

Suma $(1/2 + 2i) + (3/2 - i)$.

Ver solución

Reales: $1/2 + 3/2 = 4/2 = 2$.
Imag: $2i - i = i$.

Resultado: $\boxed{2 + i}$

---

Ejercicio 8

Simplifica $(3 + 2i) + (3 - 2i)$.

Ver solución

Solo la parte real se duplica.

$$6$$

Resultado: $\boxed{6}$

---

Ejercicio 9

Simplifica $(4 + 5i) - (4 - 5i)$.

Ver solución

Los reales se cancelan. $5i - (-5i) = 10i$.

$$10i$$

Resultado: $\boxed{10i}$

---

Ejercicio 10

Calcula $(2 + \sqrt{-9}) + (3 - \sqrt{-4})$.

Ver solución

Convertir primero: $(2 + 3i) + (3 - 2i)$.
Sumar: $(2+3) + (3-2)i$.

Resultado: $\boxed{5 + i}$

---

🔑 Resumen

Conclusión: El error más común en la resta es olvidar que el signo menos cambia ambos signos del segundo número. ¡Distribúyelo primero!