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Lección

Diferencia de Cuadrados

🧮 Matemáticas › Álgebra › Factorización

Diferencia de Cuadrados

Este es uno de los casos más sencillos de factorización. Cuando tienes una resta de dos cuadrados perfectos, siempre se puede escribir como el producto de una suma por una resta.

🎯 ¿Qué vas a aprender?

  • A reconocer cuadrados perfectos en números y variables.
  • A aplicar la fórmula para factorizar una diferencia de cuadrados.
  • Por qué este método no funciona con la suma de cuadrados.
  • A factorizar sucesivamente cuando hay exponentes altos.

🔍 ¿Qué es una Diferencia de Cuadrados?

Para usar este método, la expresión debe cumplir tres condiciones estrictas:

  1. Tener exactamente dos términos.
  2. Que los términos se estén restando (por eso se llama diferencia).
  3. Que a ambos términos se les pueda sacar una raíz cuadrada exacta.

Ejemplo: El patrón de la resta

Observa: x2−16x^2 - 16

  • ¿Es una resta? Sí.
  • ¿x2x^2 tiene raíz? Sí, es xx.
  • ¿16 tiene raíz? Sí, es 4.

La Regla: Escribe dos paréntesis con esas raíces, uno con ++ y otro con −-.

Resultado: (x+4)(x−4)\boxed{(x + 4)(x - 4)}

📐 La Regla General

Si tienes dos cuadrados restándose, su factorización siempre será:

a2−b2=(a+b)(a−b)\boxed{a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)}

En palabras: Saca la raíz de cada uno y ponlas a sumar y a restar en dos paréntesis.

⚠️ ¡Cuidado con la Suma!

Un error muy común es intentar factorizar x2+25x^2 + 25 como (x+5)(x−5)(x+5)(x-5).
¡Esto es imposible! Si multiplicas (x+5)(x−5)(x+5)(x-5) el resultado es una resta (x2−25x^2-25). La suma de cuadrados no se puede factorizar con este método.

⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Con coeficientes

Factoriza: 9a2−259a^2 - 25

Razonamiento:

  1. Raíz de 9a29a^2:
9=3ya2=a\sqrt{9} = 3 \quad \text{y} \quad \sqrt{a^2} = a

Raíz total = 3a3a.

  1. Raíz de 2525:
25=5\sqrt{25} = 5
  1. Aplicamos la regla: un paréntesis suma y otro resta.

Resultado: (3a+5)(3a−5)\boxed{(3a + 5)(3a - 5)}

Ejemplo 2: Doble factorización

Factoriza completamente: x4−1x^4 - 1

Razonamiento:

  1. Primera vuelta: Las raíces son x2x^2 y 11.

Resultado:

(x2+1)(x2−1)(x^2 + 1)(x^2 - 1)

  1. Analizamos: El bloque (x2−1)(x^2 - 1) ¡vuelve a ser una diferencia de cuadrados!

  2. Segunda vuelta: (x2−1)(x^2 - 1) se convierte en:

(x+1)(x−1)(x + 1)(x - 1)
  1. El bloque (x2+1)(x^2 + 1) se queda igual porque es una suma.

Resultado: (x2+1)(x+1)(x−1)\boxed{(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)}

Ejemplo 3: Varias variables mezcladas

Factoriza: 100a2−49b2c4100a^2 - 49b^2c^4

Razonamiento:

  1. Raíz de 100a2100a^2:
100=10ya2=a\sqrt{100}=10 \quad \text{y} \quad \sqrt{a^2}=a

Raíz total: 10a10a.

  1. Raíz de 49b2c449b^2c^4:
49=7,b2=b,c4=c2\sqrt{49}=7, \quad \sqrt{b^2}=b, \quad \sqrt{c^4}=c^2

Raíz total: 7bc27bc^2.

  1. Aplicamos la regla:
(10a+7bc2)(10a−7bc2)(10a + 7bc^2)(10a - 7bc^2)

Resultado: (10a+7bc2)(10a−7bc2)\boxed{(10a + 7bc^2)(10a - 7bc^2)}

Ejemplo 4: Exponentes altos y factor común

Factoriza: 2x3−50x2x^3 - 50x

Razonamiento:

  1. Paso 1: Notamos que hay un factor común 2x2x. Lo extraemos:
2x(x2−25)2x(x^2 - 25)

  1. Paso 2: El bloque (x2−25)(x^2 - 25) es una diferencia de cuadrados. Raíces: xx y 55.

  2. Escribimos todo junto:

2x(x+5)(x−5)2x(x+5)(x-5)

Resultado: 2x(x+5)(x−5)\boxed{2x(x + 5)(x - 5)}

Ejemplo 5: Con fracciones complejas

Factoriza: 164−y249\frac{1}{64} - \frac{y^2}{49}

Razonamiento:

  1. Raíz del primer término:
1/64=1/8\sqrt{1/64} = 1/8
  1. Raíz del segundo término:
y2/49=y/7\sqrt{y^2/49} = y/7
  1. Aplicamos binomios conjugados.

Resultado: (18+y7)(18−y7)\boxed{(\frac{1}{8} + \frac{y}{7})(\frac{1}{8} - \frac{y}{7})}

📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Identifica la raíz cuadrada de 49x249x^2.

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Razonamiento:

Sacamos la raíz del número y de la letra:

49=7yx2=x\sqrt{49} = 7 \quad \text{y} \quad \sqrt{x^2} = x

Resultado: 7x\boxed{7x}

Ejercicio 2

Factoriza: m2−36m^2 - 36.

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Datos: Raíces son mm y 66.
Razonamiento:

Colocamos las raíces en suma y resta:

(m+6)(m−6)(m + 6)(m - 6)

Resultado: (m+6)(m−6)\boxed{(m + 6)(m - 6)}

Ejercicio 3

¿Se puede factorizar a2+16a^2 + 16 por este método?

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Razonamiento: No, este método solo funciona con diferencias (restas), nunca con sumas.
Resultado: No, por ser una suma\boxed{\text{No, por ser una suma}}

Ejercicio 4

Resuelve: 4a2−81b24a^2 - 81b^2.

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Datos: Raíz del primero 2a2a, raíz del segundo 9b9b.
Razonamiento:

Aplicamos la fórmula:

(2a+9b)(2a−9b)(2a+9b)(2a-9b)

Resultado: (2a+9b)(2a−9b)\boxed{(2a + 9b)(2a - 9b)}

Ejercicio 5

Factoriza: 1−x21 - x^2.

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Razonamiento:

La raíz de 1 es 1. La raíz de x2x^2 es xx:

(1+x)(1−x)(1 + x)(1 - x)

Resultado: (1+x)(1−x)\boxed{(1 + x)(1 - x)}

Ejercicio 6

Factoriza: x6−y6x^6 - y^6.

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Razonamiento:

Dividimos los exponentes entre 2 para hallar la raíz:

x3,y3x^3, \quad y^3

Resultado: (x3+y3)(x3−y3)\boxed{(x^3 + y^3)(x^3 - y^3)}

Ejercicio 7

Factoriza: x24−9\frac{x^2}{4} - 9.

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Razonamiento:

Raíz de la fracción: x2\frac{x}{2}. Raíz de 9: 3.

(x2+3)(x2−3)(\frac{x}{2} + 3)(\frac{x}{2} - 3)

Resultado: (x2+3)(x2−3)\boxed{(\frac{x}{2} + 3)(\frac{x}{2} - 3)}

Ejercicio 8

Factoriza: 100−m4100 - m^4.

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Razonamiento:

Raíz de 100 es 10. Raíz de m4m^4 es m2m^2.

(10+m2)(10−m2)(10 + m^2)(10 - m^2)

Resultado: (10+m2)(10−m2)\boxed{(10 + m^2)(10 - m^2)}

Ejercicio 9

Resuelve: 25x2−125x^2 - 1.

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Razonamiento:

Raíces: 5x5x y 11.

(5x+1)(5x−1)(5x + 1)(5x - 1)

Resultado: (5x+1)(5x−1)\boxed{(5x + 1)(5x - 1)}

Ejercicio 10

Simplifica usando factorización: x2−4x+2\frac{x^2 - 4}{x + 2}.

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Razonamiento:

Factorizamos arriba:

(x+2)(x−2)(x+2)(x-2)

Tachamos el (x+2)(x+2) con el de abajo.

Resultado: x−2\boxed{x - 2}

🔑 Resumen

IdentidadFórmulaResultado
Diferenciaa2−b2a^2 - b^2(a+b)(a−b)(a + b)(a - b)
Doblea4−b4a^4 - b^4(a2+b2)(a+b)(a−b)(a^2 + b^2)(a + b)(a - b)
Sumaa2+b2a^2 + b^2No factorizable (en R\mathbb{R})

La diferencia de cuadrados es el "espejo" del álgebra: lo que ves de un lado, aparece del otro con el signo contrario. ¡Es la forma más rápida de simplificar expresiones binomias!