Puntos Notables del Triángulo

Las rectas notables (medianas, alturas, bisectrices, mediatrices) se cortan en 4 puntos clave.

⚡ Conceptos Clave

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1. El Baricentro (G)

Es la intersección de las Medianas.

📝 ¿Qué es una Mediana?
Es la línea que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

El baricentro es el centro de gravedad. Si sostienes el triángulo por este punto, se mantiene en equilibrio.

Propiedad Clave: Regla 2 a 1

Divide la mediana en dos partes proporcionales:

• La parte larga (vértice a $G$) mide el doble que la corta.

⚙️ Ejemplo:
Si la mediana mide 9 cm:

• Lado largo ($AG$): 6 cm
• Lado corto ($GM$): 3 cm

Esta propiedad se cumple para las tres medianas al mismo tiempo:

💡 Propiedad Mágica de las Áreas:
Las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos pequeños que tienen exactamente la misma área. Por eso el peso se distribuye perfectamente.
Nota que esto ocurre sin importar la forma del triángulo (ver abajo un triángulo asimétrico).

Coordenadas del baricentro

Si los vértices son $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$:

$$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$$

💡 Centro de Masa: El baricentro es el centro de gravedad (o centroide) del triángulo. Si recortaras un triángulo en cartón, este sería el punto exacto donde podrías sostenerlo en perfecto equilibrio sobre la punta de un lápiz.

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2. El Ortocentro (H)

Es la intersección de las Alturas.

📝 ¿Qué es una Altura?
Es la línea que baja desde un vértice perpendicularmente ($90^\circ$) al lado opuesto (o su prolongación).

Su ubicación depende totalmente del tipo de triángulo:

1. Acutángulo (Dentro)

Cae dentro del triángulo.

2. Rectángulo (En el Vértice)

Es el mismo vértice del ángulo recto.

3. Obtusángulo (Fuera)

Cae fuera del triángulo (en la prolongación de los lados).

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3. El Incentro (I)

Es la intersección de las Bisectrices.

📝 ¿Qué es una Bisectriz?
Es la semirrecta que divide un ángulo en dos partes iguales.

Propiedad Clave

Está a la misma distancia de los tres lados.
Esto permite dibujar una circunferencia que toca los 3 lados por dentro (Inscrita).

💡 Piénsalo así: El incentro es el lugar donde debes poner la punta del compás para dibujar el círculo más grande posible que quepa dentro del triángulo sin salirse.

⚙️ Ejemplo:
Si el incentro está a 5 cm del lado base, también está a 5 cm de los otros dos lados.

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4. El Circuncentro (O)

Es la intersección de las Mediatrices.

📝 ¿Qué es una Mediatriz?
Es la recta perpendicular ($90^\circ$) que pasa por el punto medio de un lado.
(Ojo: No necesariamente sale de un vértice).

Propiedad Clave

Está a la misma distancia de los tres vértices.
Esto permite dibujar una circunferencia que pasa por las 3 esquinas (Circunscrita).

💡 Piénsalo así: El circuncentro es el único lugar donde puedes poner la punta del compás para dibujar un círculo que toque las tres esquinas del triángulo a la vez.

⚙️ Ejemplo:
En un triángulo rectángulo, el circuncentro siempre es el punto medio de la hipotenusa.

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📖 Resumen de ubicaciones

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5. La Recta de Euler

En la mayoría de triángulos, tres puntos están alineados en una recta:

1. Ortocentro
2. Baricentro
3. Circuncentro

Nota: El Incentro NO suele estar en esta recta.

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📝 Ejercicios de práctica

Ejercicio 1: Identificar puntos

Indica qué punto notable corresponde a cada descripción:

1. Centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices
2. Punto donde se equilibra el triángulo en cartón
3. Punto equidistante a los tres lados
4. Intersección de las alturas

Ver respuestas

1. Circuncentro
2. Baricentro
3. Incentro
4. Ortocentro

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Ejercicio 2: Ubicación del ortocentro

¿Dónde está el ortocentro en cada caso?

1. Triángulo con ángulos 60°, 70°, 50°
2. Triángulo con ángulos 90°, 45°, 45°
3. Triángulo con ángulos 120°, 30°, 30°

Ver respuestas

1. Dentro (es acutángulo, todos los ángulos < 90°)
2. En el vértice del ángulo recto (es rectángulo)
3. Fuera (es obtusángulo, tiene un ángulo > 90°)

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Ejercicio 3: Razón del baricentro

Si la mediana desde el vértice $A$ hasta el punto medio $M$ del lado opuesto mide 12 cm, calcula:

1. La distancia del vértice $A$ al baricentro $G$
2. La distancia del baricentro $G$ al punto medio $M$

Ver respuestas

El baricentro divide la mediana en razón 2:1.

1. $AG = \frac{2}{3} \times 12 = 8$ cm
2. $GM = \frac{1}{3} \times 12 = 4$ cm

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Ejercicio 4: Coordenadas del baricentro

Calcula las coordenadas del baricentro $G$ de un triángulo cuyos vértices son $A(2, 4)$, $B(6, 10)$ y $C(10, -2)$.

Ver solución

Usamos la fórmula del promedio:

$$x_G = \frac{2 + 6 + 10}{3} = \frac{18}{3} = 6$$ $$y_G = \frac{4 + 10 + (-2)}{3} = \frac{12}{3} = 4$$

El baricentro es $G(6, 4)$.

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Ejercicio 5: Distancias al Incentro

En un triángulo, el incentro está a una distancia de 4 cm del lado $AB$. ¿A qué distancia está el incentro del lado $BC$?

Ver solución

4 cm.

El incentro equidista de los tres lados. Si la distancia a uno es 4 cm, la distancia a los otros dos también debe ser 4 cm (es el radio de la circunferencia inscrita).

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Ejercicio 6: Circuncentro en triángulo rectángulo

Se tiene un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 20 cm. ¿A qué distancia del vértice del ángulo recto se encuentra el circuncentro?

Ver solución

En un triángulo rectángulo, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa.

1. Si la hipotenusa mide 20 cm, el punto medio está a 10 cm de cada extremo.
2. El circuncentro equidista de los tres vértices.
3. Por tanto, la distancia al vértice recto también es 10 cm (el circunradio mide la mitad de la hipotenusa).

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Ejercicio 7: Verdadero o Falso

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F):

1. El incentro siempre está dentro del triángulo.
2. El ortocentro siempre está dentro del triángulo.
3. El baricentro divide a la mediana en partes iguales.
4. El circuncentro puede estar fuera del triángulo.

Ver respuestas

1. V (Siempre dentro)
2. F (Puede estar fuera en obtusángulos o en el vértice en rectángulos)
3. F (La divide en razón 2:1, no iguales)
4. V (En triángulos obtusángulos está fuera)

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Ejercicio 8: Recta de Euler

En un triángulo escaleno, ¿cuáles de los siguientes puntos están alineados en la Recta de Euler? (Elige 3)

• Incentro
• Baricentro
• Ortocentro
• Circuncentro

Ver solución

Los puntos alineados son:

1. Ortocentro
2. Baricentro
3. Circuncentro

(El Incentro generalmente no está en esta línea).

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Ejercicio 9: Ángulos y bisectrices

En el triángulo $ABC$, el ángulo $A$ mide $60^\circ$. Si trazamos la bisectriz desde $A$, ¿cuánto miden los dos ángulos que se forman en ese vértice?

Ver solución

La bisectriz divide el ángulo en dos partes iguales.

$$\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$

Se forman dos ángulos de $30^\circ$ cada uno.

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Ejercicio 10: Mediana y área

Si una mediana divide a un triángulo en dos triángulos más pequeños, ¿qué relación hay entre las áreas de esos dos triángulos pequeños?

Ver solución

Tienen la misma área.

Una mediana divide al triángulo en dos regiones de igual área (equiparables), porque ambos triángulos resultantes tienen:

1. La misma base (la mitad del lado original).
2. La misma altura (la altura del triángulo original hacia ese lado).

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🔑 Resumen