Propiedades de las Potencias (I)

Imagina que estás multiplicando bacterias en un laboratorio. Cada hora se duplican. Si comienzas con $2^5$ bacterias y luego las multiplicas por otro grupo de $2^3$, ¿cómo calculas rápidamente el total? No necesitas hacer la cuenta larga cada vez. Las matemáticas tienen "atajos" llamados propiedades que nos permiten operar con exponentes rápidamente.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• El comportamiento de las potencias cuando se multiplican (Producto de bases iguales).
• Qué sucede cuando se dividen (Cociente de bases iguales).
• La demostración visual de por qué "sumamos" o "restamos" los exponentes.
• Cómo manejar exponentes negativos en medio de estas operaciones.

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🔍 Reglas de Juego para la Misma Base

Estas reglas SOLO funcionan si la base es idéntica (ej. $x$ con $x$, $2$ con $2$). Si tienes $x^2 \cdot y^3$, ¡no inventes reglas!

1. Producto (Multiplicación)

Si multiplicas bases iguales, los exponentes se SUMAN.

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

2. Cociente (División)

Si divides bases iguales, los exponentes se RESTAN (el de arriba menos el de abajo).

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Multiplicación básica

Simplifica $x^3 \cdot x^4$.

Datos:

• Misma base: $x$.
• Exponentes: 3 y 4.
• Operación: Multiplicación → Suma.

Razonamiento:

$$x^3 \cdot x^4 = (x \cdot x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x \cdot x)$$

En total hay 7 equis multiplicándose.

$$= x^{3+4}$$ $$= x^7$$

Resultado: $\boxed{x^7}$

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Ejemplo 2: División básica

Simplifica $\dfrac{y^8}{y^3}$.

Datos:

• Operación: División → Resta.

Razonamiento:

$$y^{8-3}$$ $$= y^5$$

(Cancelamos $y^3$ arriba con $y^3$ abajo).

Resultado: $\boxed{y^5}$

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Ejemplo 3: Multiplicación con negativos

Simplifica $a^{-5} \cdot a^2$.

Datos:

• Sumar exponentes con distintos signos.

Razonamiento:

$$a^{-5 + 2}$$

Debo 5 y pago 2, quedo debiendo 3.

$$= a^{-3}$$

Para dejarlo elegante (con exponente positivo):

$$= \frac{1}{a^3}$$

Resultado: $\boxed{\frac{1}{a^3}}$

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Ejemplo 4: El "sándwich" de potencias

Simplifica $\dfrac{x^5 \cdot x^2}{x^4}$.

Datos:

• Combinación de multiplicar (arriba) y dividir.

Razonamiento:

1. Arriba:

$$x^5 \cdot x^2 = x^{5+2} = x^7$$

2. División:

$$\frac{x^7}{x^4}$$

3. Resta:

$$x^{7-4} = x^3$$

Resultado: $\boxed{x^3}$

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Ejemplo 5: División "trampa" (Resta de negativos)

Simplifica $\dfrac{m^2}{m^{-3}}$.

Datos:

• El exponente de abajo es negativo.
• La regla dice: Restar el de abajo.

Razonamiento:

$$m^{2 - (-3)}$$

Menos por menos es más ('El enemigo de mi enemigo es mi amigo').

$$m^{2 + 3}$$ $$= m^5$$

Resultado: $\boxed{m^5}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Simplifica $x^5 \cdot x^5$.

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Razonamiento:

$$5 + 5 = 10$$

Resultado: $\boxed{x^{10}}$

Ejercicio 2

Simplifica $\dfrac{a^{10}}{a^2}$.

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Razonamiento:

$$10 - 2 = 8$$

Resultado: $\boxed{a^8}$

Ejercicio 3

Simplifica $2^3 \cdot 2^2$.

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Razonamiento:

$$2^{3+2} = 2^5 = 32$$

Resultado: $\boxed{32}$

Ejercicio 4

Simplifica $y \cdot y^6$.

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Razonamiento:

La primera y tiene un 1 invisible.

$$1 + 6 = 7$$

Resultado: $\boxed{y^7}$

Ejercicio 5

Simplifica $\dfrac{x^5}{x^5}$.

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Razonamiento:

$$5 - 5 = 0$$

Todo $x^0 = 1$.

Resultado: $\boxed{1}$

Ejercicio 6

Simplifica $b^{-2} \cdot b^{-3}$.

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Razonamiento:

$$-2 + (-3) = -5$$

Resultado: $\boxed{\frac{1}{b^5}}$

Ejercicio 7

Simplifica $\dfrac{x^3}{x^{-2}}$.

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Razonamiento:

$$3 - (-2) = 3 + 2 = 5$$

Resultado: $\boxed{x^5}$

Ejercicio 8

Simplifica $a^3 \cdot a^2 \cdot a^4$.

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Razonamiento:

$$3 + 2 + 4 = 9$$

Resultado: $\boxed{a^9}$

Ejercicio 9

Simplifica $\dfrac{10^7}{10^4}$.

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Razonamiento:

$$10^{7-4} = 10^3 = 1000$$

Resultado: $\boxed{1000}$

Ejercicio 10

Simplifica $\dfrac{x^2 \cdot x^4}{x^3 \cdot x}$.

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Razonamiento:

Numerador:

$$x^6$$

Denominador:

$$x^3 \cdot x^1 = x^4$$

División:

$$6 - 4 = 2$$

Resultado: $\boxed{x^2}$

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🔑 Resumen

Recuerda: La base se queda quieta, ¡solo se mueven los exponentes!