Ecuaciones con Valor Absoluto

A menudo nos enseñan que el valor absoluto "hace positivos los números", pero esa definición es incompleta. Para entender realmente las ecuaciones, debemos pensar en el valor absoluto como una distancia.

Cuando resuelves una ecuación normal como $x = 5$, hay un solo camino. Pero el valor absoluto abre dos caminos posibles para llegar al mismo destino (la misma distancia).

---

🎯 ¿Qué vas a aprender?

• 📏 Visión Geométrica: Entender $|x|$ como distancia pura.
• 🔀 El "Desdoblamiento": Por qué una ecuación se rompe en dos.
• 🚫 Imposibles: Detectar cuándo no hay solución.
• 🛠️ Técnica: Resolver ecuaciones complejas paso a paso.

---

📏 Concepto 1: La Distancia al Origen

Imagina que estás parado en el cero de una recta numérica y te piden caminar una distancia de 4 pasos. ¿A dónde puedes llegar?

$$|x| = 4$$

Tienes dos opciones:

1. Caminar 4 pasos a la derecha $\rightarrow$ Llegas al 4.
2. Caminar 4 pasos a la izquierda $\rightarrow$ Llegas al -4.

Matemáticamente, esto crea dos ecuaciones sencillas:

$$x = 4 \quad \text{o} \quad x = -4$$

---

📍 Concepto 2: Anatomía de la Ecuación

Para no perderte, usa este mapa visual. Rompemos la ecuación $|x - 2| = 3$ en sus componentes reales:

La Lógica en 3 Pasos:

1. Centro (2): Empiezas en el 2.
2. Distancia (3): Caminas 3 pasos a la derecha (positivo) y 3 a la izquierda (negativo).
3. Destino (x): Llegas al 5 y al -1. Esas son tus soluciones.

💡 Regla Rápida:
¿Ves $|x - 2|$? Piensa: "La distancia desde x hasta 2".

Para resolverlo algebraicamente, solo aplica los dos caminos del dibujo:

1. Camino Derecho (+): $x - 2 = 3$
2. Camino Izquierdo (-): $x - 2 = -3$

---

⚙️ Ejemplos Resueltos: Método Paso a Paso

Ejemplo 1: El caso básico

Resolver $|x| = 7$.

Razonamiento:
Buscamos números a distancia 7 del cero.

Opción A (Derecha):

$$x = 7$$

Opción B (Izquierda):

$$x = -7$$ $$\boxed{x = 7, \quad x = -7}$$

Ejemplo 2: Centro desplazado

Resolver $|x - 5| = 2$.

Razonamiento:
La distancia desde 5 es de 2 unidades. Desdoblamos:

1. Caso Positivo:

$$x - 5 = 2 \implies x = 7$$

2. Caso Negativo:

$$x - 5 = -2 \implies x = 3$$ $$\boxed{x = 7, \quad x = 3}$$

Ejemplo 3: El coeficente en la variable

Resolver $|2x + 1| = 9$.

Razonamiento:
Aunque haya un $2x$, la lógica es idéntica. Lo de adentro vale 9 o vale -9.

1. Caso Positivo:

$$2x + 1 = 9 \implies 2x = 8 \implies x = 4$$

2. Caso Negativo:

$$2x + 1 = -9 \implies 2x = -10 \implies x = -5$$ $$\boxed{x = 4, \quad x = -5}$$

Ejemplo 4: El Caso Imposible

Resolver $|x + 3| = -4$.

Razonamiento:
¡Alto ahí! 🛑
El valor absoluto es una distancia. ¿Puedes caminar "-4 pasos" de distancia? No. Las distancias siempre son positivas o cero.

$$\boxed{\text{Sin Solución}}$$

Ejemplo 5: Despeje Previo

Resolver $3|x - 2| + 5 = 17$.

Razonamiento:
El valor absoluto es el "rey" de la ecuación, pero está rodeado de guardias ($+5$ y $\times 3$). Primero debemos dejarlo solo.

1. Restamos 5:

$$3|x - 2| = 12$$

2. Dividimos por 3:

$$|x - 2| = 4$$

3. ¡Ahora sí desdoblamos!
   • Caso 1: $x - 2 = 4 \implies x = 6$
   • Caso 2: $x - 2 = -4 \implies x = -2$

$$\boxed{x = 6, \quad x = -2}$$

Ejemplo 6: Doble Valor Absoluto

Resolver $|x - 3| = |2x + 1|$.

Razonamiento:
Si dos distancias son iguales, es porque los números son iguales ($a = b$) o son opuestos ($a = -b$).

1. Iguales:

$$x - 3 = 2x + 1 \implies -x = 4 \implies x = -4$$

2. Opuestos:

$$x - 3 = -(2x + 1)$$ $$x - 3 = -2x - 1$$ $$3x = 2 \implies x = 2/3$$ $$\boxed{x = -4, \quad x = \frac{2}{3}}$$

---

📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Resuelve la ecuación básica: $|x| = 15$.

Ver solución

$$x = 15 \quad \text{o} \quad x = -15$$

Resultado:

$$\boxed{\pm 15}$$

---

Ejercicio 2

Resuelve: $|x + 4| = 7$.

Ver solución

$$x + 4 = 7 \implies x = 3$$ $$x + 4 = -7 \implies x = -11$$

Resultado:

$$\boxed{3, -11}$$

---

Ejercicio 3

Resuelve: $|3x| = 12$.

Ver solución

$$3x = 12 \implies x = 4$$ $$3x = -12 \implies x = -4$$

Resultado:

$$\boxed{\pm 4}$$

---

Ejercicio 4

Resuelve: $|x - 8| = -2$.

Ver solución

Una distancia no puede ser negativa.

Resultado:

$$\boxed{\text{Sin Solución}}$$

---

Ejercicio 5

Resuelve: $|2x - 5| = 9$.

Ver solución

$$2x - 5 = 9 \implies 2x = 14 \implies x = 7$$ $$2x - 5 = -9 \implies 2x = -4 \implies x = -2$$

Resultado:

$$\boxed{7, -2}$$

---

Ejercicio 6

Resuelve despejando primero: $|x + 1| - 3 = 5$.

Ver solución

Primero:

$$|x + 1| = 8$$

Casos:

$$x + 1 = 8 \implies x = 7$$ $$x + 1 = -8 \implies x = -9$$

Resultado:

$$\boxed{7, -9}$$

---

Ejercicio 7

Resuelve: $2|x - 3| = 10$.

Ver solución

Primero:

$$|x - 3| = 5$$

Casos:

$$x - 3 = 5 \implies x = 8$$ $$x - 3 = -5 \implies x = -2$$

Resultado:

$$\boxed{8, -2}$$

---

Ejercicio 8

Resuelve el caso anidado: $|4 - x| = 1$.

Ver solución

$$4 - x = 1 \implies -x = -3 \implies x = 3$$ $$4 - x = -1 \implies -x = -5 \implies x = 5$$

Resultado:

$$\boxed{3, 5}$$

---

Ejercicio 9

Resuelve: $3|2x| - 4 = 14$.

Ver solución

Despeje:

$$3|2x| = 18 \implies |2x| = 6$$

Casos:

$$2x = 6 \implies x = 3$$ $$2x = -6 \implies x = -3$$

Resultado:

$$\boxed{\pm 3}$$

---

Ejercicio 10

Resuelve: $|x + 2| = |x - 8|$.

Ver solución

Caso 1 (Iguales):

$$x + 2 = x - 8 \implies 2 = -8 \quad (\text{Falso, sin solución aquí})$$

Caso 2 (Opuestos):

$$x + 2 = -(x - 8)$$ $$x + 2 = -x + 8$$ $$2x = 6 \implies x = 3$$

Resultado:

$$\boxed{3}$$

---

🔑 Resumen