Definición de Cuadrilátero

Mires donde mires, encontrarás cuadriláteros: la pantalla de tu celular, las puertas, las ventanas, las canchas de fútbol e incluso las páginas de este libro digital. Son, junto con los triángulos, las figuras geométricas más fundamentales de nuestro entorno construido.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Definir qué es un cuadrilátero y reconocer sus elementos principales.
• Distinguir entre cuadriláteros convexos y cóncavos.
• Aplicar la propiedad de la suma de ángulos internos ($360^\circ$).
• Calcular ángulos desconocidos en figuras de cuatro lados.
• Clasificar cuadriláteros según el paralelismo de sus lados.

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📐 ¿Qué es un Cuadrilátero?

Un cuadrilátero es un polígono cerrado formado por cuatro lados, cuatro vértices y (como su nombre lo indica) cuatro ángulos.

Elementos Principales

1. Vértices: Los 4 puntos de las esquinas ($A, B, C, D$).
2. Lados: Los 4 segmentos que unen los vértices ($AB, BC, CD, DA$).
3. Ángulos Interiores: Los 4 ángulos dentro de la figura ($\alpha, \beta, \gamma, \delta$).
4. Diagonales: Son los segmentos que unen vértices opuestos (esquinas que NO están juntas). Imagina una línea que "salta" de una esquina a la de enfrente, ignorando a los vecinos. Todo cuadrilátero tiene exactamente dos diagonales.

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🔮 Propiedad Fundamental: Suma de Ángulos

Si trazas una diagonal en cualquier cuadrilátero, lo divides en dos triángulos. Como la suma de ángulos de un triángulo es $180^\circ$, la de un cuadrilátero es el doble.

Regla: La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es siempre $360^\circ$.

$$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$$

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🔄 Clasificación: Convexos vs. Cóncavos

No todos los cuadriláteros tienen la forma "típica" de caja.

1. Cuadrilátero Convexo

Es el "normal". Todos sus ángulos interiores son menores de $180^\circ$. Si trazas sus dos diagonales, ambas quedan dentro de la figura.
(Ejemplo: Un cuadrado, un rombo).

2. Cuadrilátero Cóncavo

Tiene una "muesca" o entrada hacia adentro (como una punta de flecha o un bumerán). Tiene al menos un ángulo interior mayor de $180^\circ$. Una de sus diagonales queda fuera de la figura.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Hallar un ángulo desconocido

En un cuadrilátero $ABCD$, los ángulos miden: $A=100^\circ$, $B=80^\circ$, $C=70^\circ$. ¿Cuánto mide el ángulo $D$?

Razonamiento:
Sabemos que la suma total debe ser $360^\circ$.

$$360^\circ = 100^\circ + 80^\circ + 70^\circ + D$$ $$360^\circ = 250^\circ + D$$

Despejamos $D$:

$$D = 360^\circ - 250^\circ$$

Resultado:

$$\boxed{110^\circ}$$

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Ejemplo 2: Identificar Convexidad

Tienes un cuadrilátero con ángulos: $40^\circ, 30^\circ, 50^\circ, 240^\circ$. ¿Es convexo o cóncavo?

Razonamiento:
Revisamos los ángulos.
Observamos un ángulo de $240^\circ$.
Como $240^\circ > 180^\circ$, existe un ángulo entrante.

Resultado:

$$\boxed{\text{Es un cuadrilátero Cóncavo}}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

En un cuadrilátero, tres de sus ángulos suman $270^\circ$. ¿Cuánto mide el cuarto ángulo?

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Razonamiento:
Multiplicamos 3 por ángulo? No, nos dan la suma de los tres.
La suma total es $360$.

$$x = 360^\circ - 270^\circ$$

Resultado:

$$\boxed{90^\circ}$$

Ejercicio 2

Si los cuatro ángulos de un cuadrilátero son iguales, ¿cuánto mide cada uno?

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Razonamiento:
Repartimos $360^\circ$ en 4 partes iguales.

$$\alpha = \frac{360^\circ}{4}$$

Resultado:

$$\boxed{90^\circ}$$

Ejercicio 3

Calcula $x$ si los ángulos de un cuadrilátero son $x, 2x, 3x, 4x$.

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Razonamiento:
La suma debe ser $360$.

$$x + 2x + 3x + 4x = 360$$ $$10x = 360$$ $$x = \frac{360}{10}$$

Resultado:

$$\boxed{36^\circ}$$

Ejercicio 4

Determina si un cuadrilátero con ángulos $120^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 60^\circ$ es convexo o cóncavo.

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Razonamiento:
Todos los ángulos son menores de $180^\circ$.
Ninguno es "reflejo".

Resultado:

$$\boxed{\text{Convexo}}$$

Ejercicio 5

¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un solo vértice en un cuadrilátero?

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Razonamiento:
Desde un vértice puedes ir a los dos adyacentes (lados) o al opuesto (diagonal).
Solo hay un vértice opuesto.

Resultado:

$$\boxed{1}$$

Ejercicio 6

En un trapecio isósceles, los ángulos de la base miden $70^\circ$ cada uno. ¿Cuánto miden los otros dos ángulos?

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Razonamiento:
Suma de los dos conocidos: $70 + 70 = 140^\circ$.
Faltan: $360 - 140 = 220^\circ$.
Como es isósceles, los ángulos superiores también son iguales entre sí.

$$\frac{220}{2} = 110^\circ$$

Resultado:

$$\boxed{110^\circ \text{ y } 110^\circ}$$

Ejercicio 7

¿Puede un cuadrilátero tener 3 ángulos obtusos (mayores de $90^\circ$)?

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Razonamiento:
Probemos con el límite inferior: $91 + 91 + 91 = 273$.
El cuarto ángulo sería $360 - 273 = 87$.
Si es posible (el cuarto sería agudo).
Ejemplo: Un rombo algo aplastado o un trapezoide.

Resultado:

$$\boxed{\text{Sí}}$$

Ejercicio 8

Calcula el valor de $x$ en el cuadrilátero con ángulos: $90^\circ, 90^\circ, 130^\circ, x$.

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Razonamiento:

$$90 + 90 + 130 + x = 360$$ $$310 + x = 360$$ $$x = 360 - 310$$

Resultado:

$$\boxed{50^\circ}$$

Ejercicio 9

Si trazamos las dos diagonales de un cuadrilátero convexo, ¿en cuántos triángulos queda dividida la figura (sin que se solapen)?

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Razonamiento:
Las diagonales se cruzan en el centro.
Se forman 4 triángulos pequeños alrededor del punto de cruce.

Resultado:

$$\boxed{4 \text{ triángulos}}$$

Ejercicio 10

Un cuadrilátero tiene ángulos $A=x+10$, $B=2x$, $C=x$, $D=2x-10$. Halla $x$.

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Razonamiento:
Sumamos todo e igualamos a 360.

$$(x+10) + 2x + x + (2x-10) = 360$$ $$6x = 360$$ $$x = 60$$

Resultado:

$$\boxed{60}$$

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🔑 Resumen

Todo cuadrilátero se puede descomponer en dos triángulos, esa es la clave de su geometría.