Multiplicación por un Escalar

Multiplicar un número complejo por un número real (un escalar) es como hacer "zoom" a una imagen. Si multiplicas por 2, el número se hace el doble de grande; si multiplicas por 0.5, se reduce a la mitad. En términos algebraicos, es simplemente aplicar la propiedad distributiva.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo multiplicar un número real por un complejo.
• Cómo manejar signos negativos al multiplicar (cambio de dirección).
• Cómo multiplicar por fracciones.
• Propiedades básicas (distributiva).

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✖️ La Regla Distributiva

Para multiplicar un escalar $k$ por un complejo $z = a + bi$, simplemente distribuimos el escalar a ambas partes:

$$k(a + bi) = ka + kbi$$

Es decir, multiplicamos la parte real por $k$ y la parte imaginaria por $k$.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Escalar Entero Positivo

Calcula $3(2 + 4i)$.

Razonamiento:
El 3 multiplica tanto al 2 como al 4.

$$3(2) + 3(4i)$$

Resultado:

$$\boxed{6 + 12i}$$

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Ejemplo 2: Escalar Negativo

Calcula $-2(3 - 5i)$.

Razonamiento:
Cuidado con los signos.

• $-2 \times 3 = -6$
• $-2 \times (-5i) = +10i$

Resultado:

$$\boxed{-6 + 10i}$$

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Ejemplo 3: Multiplicación por Fracción

Calcula $\frac{1}{2}(8 + 6i)$.

Razonamiento:
"La mitad de 8 y la mitad de 6".

$$\frac{8}{2} + \frac{6i}{2}$$

Resultado:

$$\boxed{4 + 3i}$$

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Ejemplo 4: Escalar Fraccionario y Negativo

Calcula $-\frac{2}{3}(9 - 12i)$.

Razonamiento:

• Parte Real: $-\frac{2}{3}(9) = -2(3) = -6$
• Parte Imag: $-\frac{2}{3}(-12i) = +2(4i) = +8i$

Resultado:

$$\boxed{-6 + 8i}$$

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Ejemplo 5: Simplificación de Expresiones

Simplifica $2(3 + i) - 4(1 - 2i)$.

Paso 1: Distribuir
$2(3 + i) = 6 + 2i$
$-4(1 - 2i) = -4 + 8i$

Paso 2: Agrupar términos semejantes
Reales: $6 - 4 = 2$
Imaginarios: $2i + 8i = 10i$

Resultado:

$$\boxed{2 + 10i}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Calcula $5(1 + 3i)$.

Ver solución

$$5 + 15i$$

Resultado: $\boxed{5 + 15i}$

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Ejercicio 2

Calcula $-3(4 - 2i)$.

Ver solución

$$-12 + 6i$$

Resultado: $\boxed{-12 + 6i}$

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Ejercicio 3

Calcula $\frac{1}{4}(16 - 8i)$.

Ver solución

$$4 - 2i$$

Resultado: $\boxed{4 - 2i}$

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Ejercicio 4

Calcula $-1(7 + 5i)$.

Ver solución

$$-7 - 5i$$

Resultado: $\boxed{-7 - 5i}$

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Ejercicio 5

Calcula $10(0.5 + 0.2i)$.

Ver solución

$$5 + 2i$$

Resultado: $\boxed{5 + 2i}$

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Ejercicio 6

Simplifica $3(2 + i) + 2(4 + 3i)$.

Ver solución

$$(6 + 3i) + (8 + 6i) = 14 + 9i$$

Resultado: $\boxed{14 + 9i}$

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Ejercicio 7

Halla $x$ si $2(x + 3i) = 8 + 6i$.

Ver solución

$2x = 8 \rightarrow x = 4$.

Resultado: $\boxed{4}$

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Ejercicio 8

Calcula $-\frac{1}{5}(10 - 25i)$.

Ver solución

$$-2 + 5i$$

Resultado: $\boxed{-2 + 5i}$

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Ejercicio 9

Simplifica $4(1 + i) - 4(1 - i)$.

Ver solución

$(4 + 4i) - (4 - 4i) = 8i$.

Resultado: $\boxed{8i}$

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Ejercicio 10

Si $z = 3 + 4i$, calcula $3z$.

Ver solución

$$9 + 12i$$

Resultado: $\boxed{9 + 12i}$

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🔑 Resumen

Conclusión: Multiplicar por un escalar es la operación más segura: solo afecta el tamaño, pero mantiene la "proporción" entre la parte real e imaginaria.