Introducción a la Potenciación

¿Alguna vez te has preguntado cuántos ancestros tienes si retrocedes 10 generaciones? Tienes 2 padres, 4 abuelos, 8 bisabuelos... ¡esa lista crece rapidísimo! Para expresar estas multiplicaciones repetidas de forma compacta, los matemáticos inventaron la potenciación. Es la forma de escribir números gigantes (o minúsculos) sin gastar toda la tinta del lapícero.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Qué es una potencia y cuáles son sus partes (base y exponente).
• Cómo leer y escribir potencias correctamente.
• El comportamiento de los signos (¿cuándo da negativo?).
• La diferencia crítica entre $-3^2$ y $(-3)^2$.

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🔍 Concepto Básico

Una potencia es simplemente una abreviatura para una multiplicación repetida.

$$\text{Base}^{\text{Exponente}}$$

• La Base: Es el número que se multiplica.
• El Exponente: Es el "jefe" que ordena cuántas veces se multiplica la base por sí misma.

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ veces}}$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Potencia básica

Calcula $2^5$.

Datos:

• Base: 2
• Exponente: 5

Razonamiento:

Multiplicamos el 2 por sí mismo 5 veces.

$$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$$ $$= 4 \cdot 2 = 8$$ $$= 8 \cdot 2 = 16$$ $$= 16 \cdot 2 = 32$$

Resultado: $\boxed{32}$

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Ejemplo 2: Base negativa con exponente par

Calcula $(-3)^4$.

Datos:

• Base: -3 (el paréntesis incluye el signo).
• Exponente: 4 (número par).

Razonamiento:

$$(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)$$ $$= 9 \cdot (-3)$$ $$= -27 \cdot (-3)$$ $$= 81$$

Regla: Base negativa + Exponente par = Resultado Positivo.

Resultado: $\boxed{81}$

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Ejemplo 3: Base negativa con exponente impar

Calcula $(-2)^3$.

Datos:

• Base: -2.
• Exponente: 3 (número impar).

Razonamiento:

$$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$$ $$= 4 \cdot (-2)$$ $$= -8$$

Regla: Base negativa + Exponente impar = Resultado Negativo.

Resultado: $\boxed{-8}$

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Ejemplo 4: El error más común (Signo fuera)

Calcula $-5^2$.

Datos:

• Base: 5 (¡OJO! El signo menos NO está en la base porque no hay paréntesis).
• Exponente: 2.

Razonamiento:

La operación es "el negativo de $5^2$". Primero hacemos la potencia, luego ponemos el menos.

$$-5^2 = -(5 \cdot 5) = -25$$

Si fuera $(-5)^2$ daría 25. ¡El paréntesis lo cambia todo!

Resultado: $\boxed{-25}$

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Ejemplo 5: Potencias con variables

Expresa $x^2 \cdot x^3$ como una sola potencia.

Datos:

• $x^2 = x \cdot x$
• $x^3 = x \cdot x \cdot x$

Razonamiento:

Si multiplicamos todo junto:

$$(x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x) = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$$

Contamos las x: son 5.

$$x^5$$

Resultado: $\boxed{x^5}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Calcula $3^4$.

Ver solución

Razonamiento:

$$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$$

Resultado: $\boxed{81}$

Ejercicio 2

Calcula $(-4)^2$.

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Razonamiento:

$$(-4) \cdot (-4) = 16$$

(Menos por menos es más).

Resultado: $\boxed{16}$

Ejercicio 3

Calcula $(-2)^5$.

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Razonamiento:

Exponente impar conserva el signo negativo.

$$2^5 = 32$$

Resultado: $\boxed{-32}$

Ejercicio 4

Calcula $-6^2$.

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Razonamiento:

El menos está fuera.

$$-(6 \cdot 6) = -36$$

Resultado: $\boxed{-36}$

Ejercicio 5

Calcula $1^{100}$.

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Razonamiento:

El 1 multiplicado por sí mismo cualquier cantidad de veces sigue siendo 1.

Resultado: $\boxed{1}$

Ejercicio 6

Calcula $(-1)^{53}$.

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Razonamiento:

Base -1 con exponente impar da -1.

Resultado: $\boxed{-1}$

Ejercicio 7

Escribe como potencia: $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$.

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Razonamiento:

El 7 se repite 6 veces.

Resultado: $\boxed{7^6}$

Ejercicio 8

Calcula $10^3$.

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Razonamiento:

Un 1 seguido de tres ceros.

Resultado: $\boxed{1000}$

Ejercicio 9

Calcula $\left(\frac{2}{3}\right)^2$.

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Razonamiento:

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$$

Resultado: $\boxed{\frac{4}{9}}$

Ejercicio 10

Calcula $0^5$.

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Razonamiento:

$$0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$$

Resultado: $\boxed{0}$

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🔑 Resumen

Recuerda: El exponente solo manda sobre lo que tiene inmediatamente a su izquierda. Si quieres que mande sobre el signo menos, ¡enciérralo en un paréntesis!