División de Complejos

Dividir números complejos parece imposible al principio: ¿cómo divides entre algo que tiene una parte imaginaria? El truco no es dividir, sino eliminar la parte imaginaria del denominador usando una herramienta que ya conoces: la racionalización con el conjugado.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo eliminar la $i$ del denominador.
• El uso del conjugado para dividir.
• Cómo dividir entre un imaginario puro.
• El algoritmo paso a paso para cualquier división.

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➗ El Método del Conjugado

El objetivo es convertir el denominador en un simple número real.

Si tenemos $\frac{z_1}{z_2}$, multiplicamos arriba y abajo por $\bar{z_2}$ (el conjugado del denominador).

$$\frac{a + bi}{c + di} \cdot \frac{c - di}{c - di}$$

¿Por qué funciona? Porque en el denominador obtenemos una suma de cuadrados ($c^2 + d^2$), que siempre es real.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: División Estándar

Calcula:

$$\frac{3 + 2i}{1 + i}$$

Paso 1: Identificar el conjugado
El denominador es $1 + i$. Su conjugado es $1 - i$.

Paso 2: Multiplicar

$$\frac{3 + 2i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}$$

Paso 3: Operar

• Numerador (Propiedad distributiva): $(3+2i)(1-i) = 3 - 3i + 2i - 2i^2 = 3 - i + 2 = 5 - i$.
• Denominador (Suma Cuadrados): $1^2 + 1^2 = 2$.

Paso 4: Separar

$$\frac{5 - i}{2} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i$$

Resultado:

$$\boxed{\frac{5}{2} - \frac{1}{2}i}$$

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Ejemplo 2: Denominador Imaginario Puro

Calcula:

$$\frac{10}{2i}$$

Razonamiento:
Aquí no hace falta todo el conjugado complejo. Basta con multiplicar por $-i$ (o simplemente $i$) para eliminar la $i$.

$$\frac{10}{2i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{10i}{2i^2}$$ $$\frac{10i}{-2}$$

Resultado:

$$\boxed{-5i}$$

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Ejemplo 3: División con Resultado Entero

Calcula:

$$\frac{4 + 2i}{1 - i}$$

Paso 1: Conjugado
Multiplicar por $1 + i$.

Paso 2: Operar

• Numerador: $(4+2i)(1+i) = 4 + 4i + 2i + 2i^2 = 4 + 6i - 2 = 2 + 6i$.
• Denominador: $1^2 + 1^2 = 2$.

Paso 3: Simplificar

$$\frac{2 + 6i}{2} = \frac{2}{2} + \frac{6i}{2}$$

Resultado:

$$\boxed{1 + 3i}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Calcula $\dfrac{2i}{1 + i}$.

Ver solución

$$\frac{2i(1-i)}{2} = \frac{2i - 2i^2}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i$$

Resultado: $\boxed{1 + i}$

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Ejercicio 2

Calcula $\dfrac{5}{2 - i}$.

Ver solución

$$\frac{5(2+i)}{4+1} = \frac{10+5i}{5} = 2 + i$$

Resultado: $\boxed{2 + i}$

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Ejercicio 3

Calcula $\dfrac{1 + 3i}{i}$.

Ver solución

$$\frac{(1+3i)(-i)}{1} = -i - 3i^2 = 3 - i$$

Resultado: $\boxed{3 - i}$

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Ejercicio 4

Calcula $\dfrac{2 + 3i}{2 - 3i}$.

Ver solución

Numerador: $4 + 12i - 9 = -5 + 12i$.
Denominador: $4 + 9 = 13$.

Resultado: $\boxed{-\frac{5}{13} + \frac{12}{13}i}$

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Ejercicio 5

Calcula $\dfrac{4}{1 + i}$.

Ver solución

$$\frac{4(1-i)}{2} = 2(1-i) = 2 - 2i$$

Resultado: $\boxed{2 - 2i}$

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Ejercicio 6

Calcula $\dfrac{8 + 6i}{2}$.

Ver solución

Directamente dividimos entre 2.

Resultado: $\boxed{4 + 3i}$

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Ejercicio 7

Calcula $\dfrac{3 - 4i}{3 + 4i}$.

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Numerador: $(3-4i)^2 = 9 - 24i - 16 = -7 - 24i$.
Denominador: $25$.

Resultado: $\boxed{-\frac{7}{25} - \frac{24}{25}i}$

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Ejercicio 8

Calcula $\dfrac{10i}{1 + 2i}$.

Ver solución

$$\frac{10i(1-2i)}{5} = \frac{10i + 20}{5} = 4 + 2i$$

Resultado: $\boxed{4 + 2i}$

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Ejercicio 9

Calcula $\dfrac{1}{i}$.

Ver solución

Multiplicar por $-i$.

Resultado: $\boxed{-i}$

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Ejercicio 10

Calcula $\dfrac{5 - 5i}{5}$.

Ver solución

Divide todo por 5.

Resultado: $\boxed{1 - i}$

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🔑 Resumen

Conclusión: ¡En la división nunca dividimos de verdad! Solo multiplicamos estratégicamente para quitar el problema de abajo.