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Lección

Multiplicación de Radicales

🧮 Matemáticas › Álgebra › Radicación

Multiplicación de Radicales

Imagina que tienes dos cajas de regalo. Si las dos cajas son del mismo tamaño, puedes meter el contenido de una dentro de la otra y hacer un solo regalo gigante. Pero si una caja es cuadrada y la otra triangular, primero tienes que hacer un truco para que encajen.

En matemáticas, multiplicar radicales es fusionarlos. Si tienen el mismo índice, es directo. Si no, hay que igualarlos primero.

🎯 ¿Qué vas a aprender?

  • Cómo multiplicar raíces con el mismo índice (fácil).
  • Cómo multiplicar raíces con diferente índice (nivel pro).
  • La regla de "afuera con afuera, adentro con adentro".

🤝 Caso 1: Mismo Índice

Si los radicales tienen el mismo índice, la regla es simple: multiplica lo de adentro con lo de adentro.

Fórmula:

an⋅bn=a⋅bn\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}

Ejemplo:

2⋅3=2⋅3=6\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}

🔄 Caso 2: Diferente Índice

Si los índices son distintos (ej. 2⋅23\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2}), no se pueden fusionar directamente.
Truco: Convertir ambos al Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los índices.

Ejemplo: 2⋅23\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2}.

  1. Índices: 2 y 3. MCM = 6.
  2. Convertir 2\sqrt{2} a índice 6: Multiplicamos índice por 3, elevamos radicando a la 3. →236\to \sqrt[6]{2^3}.
  3. Convertir 23\sqrt[3]{2} a índice 6: Multiplicamos índice por 2, elevamos radicando a la 2. →226\to \sqrt[6]{2^2}.
  4. Ahora multiplicamos: 23⋅226=256\sqrt[6]{2^3 \cdot 2^2} = \sqrt[6]{2^5}.

⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Mismo índice con coeficientes

Multiplica: 32⋅453\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{5}.

Regla: "Afuera con afuera, adentro con adentro".

  • Afuera: 3⋅4=123 \cdot 4 = 12.
  • Adentro: 2⋅5=102 \cdot 5 = 10.

Resultado:

1210\boxed{12\sqrt{10}}

Ejemplo 2: Diferente índice

Multiplica: x⋅x3\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}.

Paso 1: MCM de índices
Índices 2 y 3. MCM = 6.

Paso 2: Homogeneizar

  • x=x36\sqrt{x} = \sqrt[6]{x^3}.
  • x3=x26\sqrt[3]{x} = \sqrt[6]{x^2}.

Paso 3: Multiplicar

x3⋅x26=x56\sqrt[6]{x^3 \cdot x^2} = \sqrt[6]{x^5}

Resultado:

x56\boxed{\sqrt[6]{x^5}}

Ejemplo 3: Binomio por radical

Multiplica: 2(3+2)\sqrt{2}(3 + \sqrt{2}).

Propiedad Distributiva:

  1. 2⋅3=32\sqrt{2} \cdot 3 = 3\sqrt{2}.
  2. 2⋅2=4=2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4} = 2.

Resultado:

32+2\boxed{3\sqrt{2} + 2}

Ejemplo 4: Tres radicales con mismo índice

Multiplica: 2⋅8⋅3\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{3}.

Razonamiento:
Podemos multiplicar de a dos o todos juntos.
2⋅8⋅3=48\sqrt{2 \cdot 8 \cdot 3} = \sqrt{48}.

Simplificamos: 48=16⋅3=42⋅348 = 16 \cdot 3 = 4^2 \cdot 3.
48=16⋅3=43\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}.

Resultado:

43\boxed{4\sqrt{3}}

Ejemplo 5: Diferente índice con coeficientes

Multiplica: 23⋅3332\sqrt{3} \cdot 3\sqrt[3]{3}.

Paso 1: MCM de índices
Índices 2 y 3. MCM = 6.

Paso 2: Convertir

  • 23=2336=22762\sqrt{3} = 2\sqrt[6]{3^3} = 2\sqrt[6]{27}
  • 333=3326=3963\sqrt[3]{3} = 3\sqrt[6]{3^2} = 3\sqrt[6]{9}

Paso 3: Multiplicar
2⋅3⋅27⋅96=624362 \cdot 3 \cdot \sqrt[6]{27 \cdot 9} = 6\sqrt[6]{243}.

Resultado:

62436\boxed{6\sqrt[6]{243}}

Ejemplo 6: Radical con expresión algebraica

Multiplica: x+1⋅x−1\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1}.

Razonamiento:
(x+1)(x−1)=x2−1\sqrt{(x+1)(x-1)} = \sqrt{x^2 - 1}.

Resultado:

x2−1\boxed{\sqrt{x^2 - 1}}

Ejemplo 7: Raíces cuarta y sexta

Multiplica: 54⋅56\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[6]{5}.

Paso 1: MCM de índices
Índices 4 y 6. MCM = 12.

Paso 2: Convertir

  • 54=5312\sqrt[4]{5} = \sqrt[12]{5^3}
  • 56=5212\sqrt[6]{5} = \sqrt[12]{5^2}

Paso 3: Multiplicar

53⋅5212=5512\sqrt[12]{5^3 \cdot 5^2} = \sqrt[12]{5^5}

Resultado:

312512\boxed{\sqrt[12]{3125}}

Ejemplo 8: Binomio por binomio con radicales

Multiplica: (2+3)(2−3)(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}).

Razonamiento:
Es una diferencia de cuadrados: (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2.
(2)2−(3)2=2−3=−1(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1.

Resultado:

−1\boxed{-1}

Ejemplo 9: Coeficiente grande

Multiplica: 512⋅235\sqrt{12} \cdot 2\sqrt{3}.

Paso 1: Simplificar primero

  • 12=23\sqrt{12} = 2\sqrt{3}

Paso 2: Multiplicar
5⋅23⋅3=109=10⋅3=305 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{9} = 10 \cdot 3 = 30.

Resultado:

30\boxed{30}

Ejemplo 10: Tres radicales con diferente índice

Multiplica: 2⋅33⋅56\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[6]{5}.

Paso 1: MCM de índices
Índices 2, 3 y 6. MCM = 6.

Paso 2: Convertir todos a índice 6

  • 2=236=86\sqrt{2} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8}
  • 33=326=96\sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9}
  • 56=56\sqrt[6]{5} = \sqrt[6]{5}

Paso 3: Multiplicar

8⋅9⋅56=3606\sqrt[6]{8 \cdot 9 \cdot 5} = \sqrt[6]{360}

Resultado:

3606\boxed{\sqrt[6]{360}}

📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Multiplica: 3⋅12\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}.

Ver solución

Razonamiento:
3⋅12=36=6\sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6.

Resultado:

6\boxed{6}

Ejercicio 2

Multiplica: 25⋅322\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{2}.

Ver solución

Razonamiento:
2⋅3=62 \cdot 3 = 6.
5⋅2=105 \cdot 2 = 10.

Resultado:

610\boxed{6\sqrt{10}}

Ejercicio 3

Multiplica: 43⋅23\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}.

Ver solución

Razonamiento:
4⋅23=83=2\sqrt[3]{4 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} = 2.

Resultado:

2\boxed{2}

Ejercicio 4

Multiplica: x⋅x3\sqrt{x} \cdot \sqrt{x^3}.

Ver solución

Razonamiento:
x⋅x3=x4=x2\sqrt{x \cdot x^3} = \sqrt{x^4} = x^2.

Resultado:

x2\boxed{x^2}

Ejercicio 5

Multiplica: 2⋅24\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2}.

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Razonamiento:
MCM(2,4) = 4.
2=224\sqrt{2} = \sqrt[4]{2^2}.
224⋅214=234\sqrt[4]{2^2} \cdot \sqrt[4]{2^1} = \sqrt[4]{2^3}.

Resultado:

84\boxed{\sqrt[4]{8}}

Ejercicio 6

Multiplica: (1+2)(1−2)(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2}).

Ver solución

Razonamiento:
Es una diferencia de cuadrados: 12−(2)21^2 - (\sqrt{2})^2.
1−2=−11 - 2 = -1.

Resultado:

−1\boxed{-1}

Ejercicio 7

Multiplica: 53⋅35\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}.

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Razonamiento:
5⋅9=5⋅3=155 \cdot \sqrt{9} = 5 \cdot 3 = 15.

Resultado:

15\boxed{15}

Ejercicio 8

Multiplica: x23⋅x3\sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt[3]{x}.

Ver solución

Razonamiento:
x2⋅x3=x33=x\sqrt[3]{x^2 \cdot x} = \sqrt[3]{x^3} = x.

Resultado:

x\boxed{x}

Ejercicio 9

Multiplica: 2⋅3⋅6\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6}.

Ver solución

Razonamiento:
2⋅3⋅6=36=6\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 6} = \sqrt{36} = 6.

Resultado:

6\boxed{6}

Ejercicio 10

Multiplica: a⋅b3\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{b}.

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Razonamiento:
MCM(2,3) = 6.
a=a36\sqrt{a} = \sqrt[6]{a^3}.
b3=b26\sqrt[3]{b} = \sqrt[6]{b^2}.

Resultado:

a3b26\boxed{\sqrt[6]{a^3 b^2}}

🔑 Resumen

CasoAcción
Mismo ÍndiceMultiplica directo (a⋅b=ab\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}).
CoeficientesMultiplica los números de afuera entre sí.
Diferente ÍndiceBusca el MCM de los índices y convierte los radicales.
PolinomiosUsa la propiedad distributiva.

Tip: Siempre intenta simplificar el resultado final. Si te queda 12\sqrt{12}, escribe 232\sqrt{3}.