Introducción a los Números Imaginarios

¿Existe algún número que multiplicado por sí mismo dé -1? Piénsalo: $1 \cdot 1 = 1$ y $(-1) \cdot (-1) = 1$. Parece imposible, ¿verdad? Para resolver este enigma, los matemáticos tuvieron que definir un nuevo tipo de número, que hoy es fundamental para entender desde la electricidad hasta la mecánica cuántica.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Qué es la unidad imaginaria ($i$) y por qué se inventó.
• Cómo calcular raíces cuadradas de números negativos.
• Qué es un número imaginario puro.
• Cómo distinguir entre reales e imaginarios.

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🦄 La Unidad Imaginaria

El problema fundamental era resolver la ecuación:

$$x^2 = -1$$

Como ningún número real funciona, se definió la unidad imaginaria, denotada por la letra $i$:

$$i = \sqrt{-1}$$

Y su propiedad más importante:

$$i^2 = -1$$

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⚙️ Simplificación de Raíces Negativas

Ahora podemos calcular raíces que antes decíamos que "no existían". La regla es sencilla: separar el negativo como un factor -1.

La Regla General

$$\sqrt{-a} = \sqrt{a \cdot (-1)} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{-1} = i\sqrt{a}$$

Nota: Por costumbre, escribimos la $i$ antes de la raíz ($i\sqrt{a}$) o al final si el número es entero ($4i$), para evitar confusiones.

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🧠 Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Raíz Exacta

Calcula $\sqrt{-9}$.

Razonamiento:
Separamos el signo negativo.

$$\sqrt{9 \cdot (-1)}$$

Paso a paso:

$$\sqrt{9} \cdot \sqrt{-1}$$ $$3 \cdot i$$

Resultado:

$$\boxed{3i}$$

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Ejemplo 2: Raíz Inexacta

Simplifica $\sqrt{-7}$.

Razonamiento:
El 7 no tiene raíz exacta, así que solo sacamos la parte negativa como $i$.

$$\sqrt{7 \cdot (-1)} = \sqrt{7} \cdot i$$

Resultado:

$$\boxed{i\sqrt{7}}$$

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Ejemplo 3: Simplificando el Radical

Simplifica $\sqrt{-50}$.

Razonamiento:
Primero convertimos el negativo en $i$, y luego simplificamos $\sqrt{50}$ como aprendimos en radicales.

Paso 1: Sacar la $i$

$$\sqrt{50} \cdot i$$

Paso 2: Simplificar $\sqrt{50}$
$50 = 25 \cdot 2$.

$$\sqrt{25 \cdot 2} \cdot i = 5\sqrt{2} \cdot i$$

Resultado:

$$\boxed{5i\sqrt{2}}$$

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Ejemplo 4: Verificación

Demuestra que $(3i)^2 = -9$.

Razonamiento:
Elevamos al cuadrado cada parte.

$$(3i)^2 = 3^2 \cdot i^2$$ $$9 \cdot (-1)$$

Resultado:

$$\boxed{-9}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Calcula: $\sqrt{-25}$

Ver solución

$$\sqrt{25} \cdot i = 5i$$

Resultado:

$$\boxed{5i}$$

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Ejercicio 2

Calcula: $\sqrt{-100}$

Ver solución

$$\sqrt{100} \cdot i = 10i$$

Resultado:

$$\boxed{10i}$$

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Ejercicio 3

Simplifica: $\sqrt{-36}$

Ver solución

$$\sqrt{36} \cdot i = 6i$$

Resultado:

$$\boxed{6i}$$

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Ejercicio 4

Simplifica: $\sqrt{-5}$

Ver solución

Razonamiento:
Sacamos el $-1$.

$$\sqrt{5} \cdot i$$

Resultado:

$$\boxed{i\sqrt{5}}$$

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Ejercicio 5

Simplifica: $\sqrt{-8}$

Ver solución

Razonamiento:
$8 = 4 \cdot 2$.

$$\sqrt{4 \cdot 2} \cdot i = 2\sqrt{2}i$$

Resultado:

$$\boxed{2i\sqrt{2}}$$

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Ejercicio 6

Simplifica: $\sqrt{-12}$

Ver solución

Razonamiento:
$12 = 4 \cdot 3$.

$$\sqrt{4 \cdot 3} \cdot i = 2i\sqrt{3}$$

Resultado:

$$\boxed{2i\sqrt{3}}$$

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Ejercicio 7

Calcula: $-2\sqrt{-49}$

Ver solución

Razonamiento:
$\sqrt{-49} = 7i$.

$$-2 \cdot (7i)$$

Resultado:

$$\boxed{-14i}$$

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Ejercicio 8

Simplifica: $\sqrt{-18}$

Ver solución

Razonamiento:
$18 = 9 \cdot 2$.

$$\sqrt{9 \cdot 2} \cdot i = 3i\sqrt{2}$$

Resultado:

$$\boxed{3i\sqrt{2}}$$

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Ejercicio 9

Simplifica: $\sqrt{-48}$

Ver solución

Razonamiento:
$48 = 16 \cdot 3$.

$$\sqrt{16 \cdot 3} \cdot i = 4i\sqrt{3}$$

Resultado:

$$\boxed{4i\sqrt{3}}$$

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Ejercicio 10

Demuestra si $(5i)^2$ es positivo o negativo.

Ver solución

$$25 \cdot i^2 = 25 \cdot (-1) = -25$$

Resultado:

$$\boxed{\text{Negativo}}$$

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🔑 Resumen

Conclusión: Los números imaginarios no son "menos reales" que los demás; son simplemente una herramienta diferente que nos permite resolver ecuaciones que antes parecían imposibles.