Suma y Resta de Números Imaginarios

Sumar números imaginarios es tan sencillo como sumar "equis" en álgebra básica. Si sabes que $3x + 2x = 5x$, entonces ya sabes sumar imaginarios: simplemente tratamos a la $i$ como si fuera una variable. Esta simplicidad nos permite manejar sistemas complejos de ecuaciones en electrónica y física sin perdernos.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo sumar y restar números imaginarios puros.
• Cómo manejar signos positivos y negativos con la $i$.
• Cómo simplificar raíces negativas antes de sumarlas.
• Cómo agrupar términos semejantes cuando hay partes reales e imaginarias.

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➕ Regla de Oro: Términos Semejantes

Para sumar o restar números imaginarios, simplemente sumamos o restamos sus coeficientes (los números que acompañan a la $i$) y mantenemos la $i$.

$$ai \pm bi = (a \pm b)i$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Suma Directa

Calcula:

$$3i + 5i$$

Razonamiento:
Sumamos los números 3 y 5.

$$(3 + 5)i$$

Resultado:

$$\boxed{8i}$$

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Ejemplo 2: Resta con Negativos

Calcula:

$$4i - 20i$$

Razonamiento:
Restamos los coeficientes.

$$(4 - 20)i$$

Resultado:

$$\boxed{-16i}$$

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Ejemplo 3: Operación Combinada

Simplifica:

$$-5i + 8i - 2i$$

Razonamiento:
Operamos de izquierda a derecha o agrupamos positivos y negativos.
$(-5 - 2)i + 8i = -7i + 8i = 1i$.

Resultado:

$$\boxed{i}$$

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Ejemplo 4: Suma con Raíces (Importante)

Calcula:

$$\sqrt{-9} + \sqrt{-16}$$

Paso Crítico:
⚠️ NUNCA sumes los números adentro de la raíz ($\sqrt{-9-16} = \sqrt{-25}$). ¡Eso es incorrecto!
Primero debes convertir cada raíz a su forma imaginaria.

Paso 1: Convertir
$\sqrt{-9} = 3i$
$\sqrt{-16} = 4i$

Paso 2: Sumar

$$3i + 4i$$

Resultado:

$$\boxed{7i}$$

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Ejemplo 5: Resta con Raíces y Coeficientes

Calcula:

$$2\sqrt{-25} - 3\sqrt{-4}$$

Paso 1: Convertir raíces
$\sqrt{-25} = 5i$
$\sqrt{-4} = 2i$

Paso 2: Multiplicar por sus coeficientes
$2(5i) - 3(2i)$

Paso 3: Operar

$$10i - 6i$$

Resultado:

$$\boxed{4i}$$

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Ejemplo 6: Imaginarios con Radicales Semejantes

Calcula:

$$\sqrt{-8} + \sqrt{-18}$$

Paso 1: Simplificar radicales
$\sqrt{-8} = i\sqrt{8} = i\sqrt{4 \cdot 2} = 2i\sqrt{2}$
$\sqrt{-18} = i\sqrt{18} = i\sqrt{9 \cdot 2} = 3i\sqrt{2}$

Paso 2: Sumar coeficientes

$$(2 + 3)i\sqrt{2}$$

Resultado:

$$\boxed{5i\sqrt{2}}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Calcula: $12i + 5i$

Ver solución

$$(12 + 5)i = 17i$$

Resultado:

$$\boxed{17i}$$

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Ejercicio 2

Calcula: $8i - 15i$

Ver solución

$$(8 - 15)i = -7i$$

Resultado:

$$\boxed{-7i}$$

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Ejercicio 3

Simplifica: $5i - i + 3i$

Ver solución

$$(5 - 1 + 3)i = 7i$$

Resultado:

$$\boxed{7i}$$

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Ejercicio 4

Calcula: $\sqrt{-36} + \sqrt{-64}$

Ver solución

Paso 1: $6i + 8i$.

$$14i$$

Resultado:

$$\boxed{14i}$$

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Ejercicio 5

Calcula: $\sqrt{-100} - \sqrt{-49}$

Ver solución

Paso 1: $10i - 7i$.

$$3i$$

Resultado:

$$\boxed{3i}$$

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Ejercicio 6

Calcula: $3\sqrt{-4} + 2\sqrt{-9}$

Ver solución

$$3(2i) + 2(3i)$$ $$6i + 6i$$

Resultado:

$$\boxed{12i}$$

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Ejercicio 7

Simplifica: $\sqrt{-12} + \sqrt{-27}$

Ver solución

Paso 1: Simplificar.
$\sqrt{-12} = 2i\sqrt{3}$
$\sqrt{-27} = 3i\sqrt{3}$

Paso 2: Sumar.

$$5i\sqrt{3}$$

Resultado:

$$\boxed{5i\sqrt{3}}$$

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Ejercicio 8

Calcula: $4i - \frac{1}{2}\sqrt{-16}$

Ver solución

Paso 1:
$4i - \frac{1}{2}(4i)$

Paso 2:
$4i - 2i$

Resultado:

$$\boxed{2i}$$

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Ejercicio 9

Calcula: $\sqrt{-81} + \sqrt{-1} - \sqrt{-25}$

Ver solución

$$9i + i - 5i$$ $$(9 + 1 - 5)i$$

Resultado:

$$\boxed{5i}$$

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Ejercicio 10

Simplifica: $2i + 3i^2 + 4i$ (Recordando que $i^2 = -1$)

Ver solución

Paso 1: Agrupar imaginarios ($2i + 4i$) y sustituir $i^2$.
$6i + 3(-1)$

Resultado:

$$\boxed{-3 + 6i}$$

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🔑 Resumen

Consejo: La trampa más común es intentar operar dentro de las raíces ($\sqrt{-4} + \sqrt{-9} \neq \sqrt{-13}$). Siempre saca la $i$ antes de hacer nada más.