Segmentos y Rayos

¿Alguna vez te has preguntado por qué un lápiz tiene fin pero la luz de una linterna parece no acabar nunca en el cielo nocturno? En geometría, ambos viven en una recta, pero tienen reglas muy diferentes. Uno es un rayo (imparable) y el otro es un segmento (limitado).

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• El concepto de rayo como una semirrecta con dirección.
• El segmento como una porción medible de una recta.
• Cómo encontrar el punto medio exacto de un objeto.
• Notación científica correcta para no confundir direcciones.

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🔦 El Rayo (o Semirrecta)

Imaginalo como la luz de un puntero láser: sabes exactamente de dónde sale (el origen), pero sigue infinitamente en una sola dirección.

• Definición: Es la parte de una recta que comienza en un punto y se extiende para siempre en un sentido.
• Origen: El punto donde comienza.
• Notación: Se escribe con una flechita arriba.

$$\overrightarrow{AB}$$

⚠️ Regla de Oro: La primera letra ($A$) siempre debe ser el punto de origen. La segunda letra ($B$) solo nos dice hacia dónde va el rayo. Por eso, el rayo $\overrightarrow{AB}$ y el rayo $\overrightarrow{BA}$ son totalmente diferentes.

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📏 El Segmento de Recta

A diferencia del rayo, el segmento es "tímido": tiene principio y tiene fin. Es la única parte de la recta que podemos atrapar y medir con una regla.

• Definición: Es el conjunto de puntos que están entre dos extremos, incluyéndolos.
• Notación: Se escribe con una barra horizontal.

$$\overline{AB}$$

• Longitud: Cuando hablamos de cuánto mide (un número), ya no ponemos la barra. Por ejemplo:

$$AB = 5 \text{ cm}$$

El Punto Medio

Es el punto exacto $M$ que se para justo a la mitad del segmento. Si $M$ es el punto medio, entonces las dos mitades miden exactamente lo mismo:

$$AM = MB$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Comparando Rayos

Si tienes una recta con tres puntos alineados en orden $A - B - C$. ¿Es lo mismo el rayo $\overrightarrow{AB}$ que el rayo $\overrightarrow{AC}$?

Razonamiento:
Ambos rayos empiezan en el mismo origen ($A$) y van en la misma dirección (hacia la derecha, pasando por $B$ y por $C$).

Resultado:

$$\boxed{\text{Sí, son el mismo rayo}}$$

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Ejemplo 2: Rayos Opuestos

Dibujas un punto $X$ y, desde allí, lanzas un rayo hacia la izquierda ($A$) y otro hacia la derecha ($B$). ¿Qué forman juntos?

Razonamiento:
Dos rayos que comparten el mismo origen y van en direcciones exactamente contrarias forman una línea continua sin fin.

Resultado:

$$\boxed{\text{Forman una Recta}}$$

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Ejemplo 3: El Tesoro a la Mitad

Un cable de fibra óptica mide 40 metros. Si ocurre un corte justo en el punto medio $M$. ¿A qué distancia del inicio está el corte?

Razonamiento:
El punto medio divide la longitud total entre dos partes iguales.

$$\text{Distancia} = \frac{40}{2}$$

Resultado:

$$\boxed{20 \text{ metros}}$$

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Ejemplo 4: Sumando Distancias

En una carretera recta, el pueblo $A$ está a 15 km del punto de control $B$, y el pueblo $C$ está a 25 km después de $B$. ¿Cuál es la distancia total de $A$ hasta $C$?

Razonamiento:
Como están alineados, sumamos los segmentos individuales.

$$AC = AB + BC$$ $$AC = 15 + 25$$

Resultado:

$$\boxed{40 \text{ km}}$$

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Ejemplo 5: Notación Correcta

Si un rayo nace en el punto $S$ y pasa por los puntos $T$ y $U$. ¿Cuál es su nombre oficial?

Razonamiento:
El origen es $S$, por lo que debe ir de primero en la notación. Podemos usar cualquier otro punto por el que pase para indicar la dirección.

Resultado:

$$\boxed{\overrightarrow{ST} \text{ o } \overrightarrow{SU}}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Si el segmento $\overline{MN}$ mide 100 cm y $P$ es su punto medio, ¿cuánto mide el segmento $\overline{NP}$?

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Razonamiento:
Dividimos el total entre 2.

$$\frac{100}{2} = 50$$

Resultado:

$$\boxed{50 \text{ cm}}$$

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Ejercicio 2

Escribe la notación de una semirrecta que tiene su origen en el punto $Q$ y se dirige hacia el punto $R$.

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Resultado:

$$\boxed{\overrightarrow{QR}}$$

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Ejercicio 3

¿Cuál es la principal diferencia entre una Recta y un Segmento?

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Razonamiento:
La recta es infinita; el segmento tiene dos extremos y se puede medir.

Resultado:

$$\boxed{\text{El segmento es finito, la recta es infinita}}$$

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Ejercicio 4

Si un rayo se llama $\overrightarrow{PQ}$. ¿Cuál es su punto de origen?

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Razonamiento:
En la notación de rayos, la primera letra siempre indica el origen.

Resultado:

$$\boxed{\text{El punto } P}$$

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Ejercicio 5

Un segmento mide 12 metros. Si lo dividimos en el punto medio y luego dividimos una de esas mitaes otra vez a la mitad, ¿cuánto mide el trozo más pequeño?

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Razonamiento:

1. Primera división:

$$\frac{12}{2} = 6$$

2. Segunda división:

$$\frac{6}{2} = 3$$

Resultado:

$$\boxed{3 \text{ metros}}$$

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Ejercicio 6

¿Es posible medir la longitud de un rayo con una regla común? Explica por qué.

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Razonamiento:
No, porque el rayo nunca termina. No tiene un segundo extremo para poner el "final" de la regla.

Resultado:

$$\boxed{\text{No, porque es infinito}}$$

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Ejercicio 7

Si los segmentos $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$ están alineados y miden 7 y 9 respectivamente. ¿Cuánto mide el segmento total $\overline{AC}$?

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Razonamiento:

$$7 + 9 = 16$$

Resultado:

$$\boxed{16}$$

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Ejercicio 8

¿Cuántos puntos finales tiene un rayo?

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Razonamiento:
Tiene un punto de inicio (origen), pero no tiene punto final ya que es infinito.

Resultado:

$$\boxed{\text{Cero (0)}}$$

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Ejercicio 9

Si el punto $K$ está entre $J$ y $L$, y se cumple que $JK = 5$ y $JL = 5$. ¿Es $K$ el punto medio?

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Razonamiento:
Si $JK=5$ y el total $JL=5$, entonces $K$ tiene que estar encima de $L$. Para ser punto medio, el total debería ser 10.

Resultado:

$$\boxed{\text{No, K no es el punto medio}}$$

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Ejercicio 10

Verdadero o Falso: El nombre de un segmento puede escribirse como $\overline{AB}$ o $\overline{BA}$ sin cambiar su significado.

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Razonamiento:
En los segmentos, el orden de las letras no importa porque ambos son extremos fijos.

Resultado:

$$\boxed{\text{Verdadero}}$$

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🔑 Resumen

Como repaso final, aquí tienes cómo se comparan todas las "líneas" que hemos visto hasta ahora:

Conclusión: Aunque la recta es la madre de todas, en nuestro día a día trabajamos principalmente con segmentos (cosas con principio y fin) y usamos rayos para describir hacia dónde se mueve la luz o la energía.