Multiplicación de Complejos

Multiplicar números complejos puede parecer intimidante, pero en realidad ya sabes hacerlo. Es idéntico a multiplicar binomios en álgebra (como $(x+2)(x+3)$), con un único giro final: siempre que veas $i^2$, debes cambiarlo por -1.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo multiplicar dos números complejos con la propiedad distributiva (todos con todos).
• Por qué $a \cdot c$ y $b \cdot d$ terminan siendo la parte real.
• El caso especial: multiplicar un complejo por su conjugado.
• Cómo elevar un complejo al cuadrado.

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✖️ Propiedad Distributiva (Todos con Todos)

Para multiplicar $(a + bi)(c + di)$, aplicamos la propiedad distributiva:

1. Primeros: $a \cdot c$
2. Exteriores: $a \cdot di$
3. Interiores: $bi \cdot c$
4. Últimos: $bi \cdot di = bd \cdot i^2$

¡El paso mágico!
El último término siempre tendrá $i^2$. Como $i^2 = -1$, ese término cambia de signo y se vuelve real.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Multiplicación Paso a Paso

Calcula $(2 + 3i)(4 + 5i)$.

Paso 1: Distribuir (Todos con todos)

• $2 \cdot 4 = 8$
• $2 \cdot 5i = 10i$
• $3i \cdot 4 = 12i$
• $3i \cdot 5i = 15i^2$

Paso 2: Simplificar $i^2$
Recordemos que $15i^2 = 15(-1) = -15$.

$$8 + 10i + 12i - 15$$

Paso 3: Agrupar

• Reales: $8 - 15 = -7$
• Imaginarios: $10i + 12i = 22i$

Resultado:

$$\boxed{-7 + 22i}$$

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Ejemplo 2: Cuidado con los Negativos

Calcula $(3 - 2i)(1 - 4i)$.

Paso 1: Distribuir

• $3 \cdot 1 = 3$
• $3 \cdot (-4i) = -12i$
• $-2i \cdot 1 = -2i$
• $-2i \cdot (-4i) = +8i^2$

Paso 2: Simplificar
$8i^2 = 8(-1) = -8$.

$$3 - 12i - 2i - 8$$

Paso 3: Agrupar

• $3 - 8 = -5$
• $-12i - 2i = -14i$

Resultado:

$$\boxed{-5 - 14i}$$

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Ejemplo 3: Cuadrado de un Binomio

Calcula $(4 + i)^2$.

Razonamiento:
Es lo mismo que $(4 + i)(4 + i)$.

$$16 + 4i + 4i + i^2$$ $$16 + 8i - 1$$

Resultado:

$$\boxed{15 + 8i}$$

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Ejemplo 4: Producto de Conjugados (¡Muy Útil!)

Calcula $(3 + 4i)(3 - 4i)$.

Paso 1: Distribuir

• $3 \cdot 3 = 9$
• $3 \cdot (-4i) = -12i$
• $4i \cdot 3 = +12i$
• $4i \cdot (-4i) = -16i^2$

Paso 2: Simplificar
Los términos centrales ($-12i + 12i$) se cancelan.
$-16i^2$ se convierte en $+16$.

$$9 + 16$$

Resultado:

$$\boxed{25}$$

Regla de Oro: Multiplicar conjugados $(a+bi)(a-bi)$ siempre da $a^2 + b^2$ (Sumas de cuadrados).

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Calcula $(1 + 2i)(3 + i)$.

Ver solución

$$3 + i + 6i + 2i^2 = 3 + 7i - 2 = 1 + 7i$$

Resultado: $\boxed{1 + 7i}$

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Ejercicio 2

Calcula $(2 - 3i)(4 - i)$.

Ver solución

$$8 - 2i - 12i + 3i^2 = 8 - 14i - 3 = 5 - 14i$$

Resultado: $\boxed{5 - 14i}$

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Ejercicio 3

Calcula $(5 + i)^2$.

Ver solución

$$25 + 10i + i^2 = 25 + 10i - 1 = 24 + 10i$$

Resultado: $\boxed{24 + 10i}$

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Ejercicio 4

Calcula $(2 + 5i)(2 - 5i)$.

Ver solución

Es suma de cuadrados ($2^2 + 5^2$).
$4 + 25 = 29$.

Resultado: $\boxed{29}$

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Ejercicio 5

Calcula $(1 - i)^2$.

Ver solución

$$1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$$

Resultado: $\boxed{-2i}$

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Ejercicio 6

Calcula $i(3 + 4i)(1 - i)$.

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Primero $(3+4i)(1-i) = 3 - 3i + 4i - 4i^2 = 7 + i$. Luego $i(7+i) = 7i + i^2 = 7i - 1$.

Resultado: $\boxed{-1 + 7i}$

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Ejercicio 7

Calcula $(3i)(2 - i)$.

Ver solución

$$6i - 3i^2 = 6i - 3(-1) = 3 + 6i$$

Resultado: $\boxed{3 + 6i}$

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Ejercicio 8

Calcula $(4 + 3i)(4 - 3i)$.

Ver solución

$$16 + 9 = 25$$

Resultado: $\boxed{25}$

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Ejercicio 9

Calcula $(2 + 2i)(1 + i)$.

Ver solución

$$2 + 2i + 2i + 2i^2 = 2 + 4i - 2 = 4i$$

Resultado: $\boxed{4i}$

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Ejercicio 10

Calcula $(1 - 3i)(5 + 2i)$.

Ver solución

$$5 + 2i - 15i - 6i^2 = 5 - 13i + 6 = 11 - 13i$$

Resultado: $\boxed{11 - 13i}$

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🔑 Resumen

Conclusión: La multiplicación de complejos es álgebra normal, pero el último término siempre "da la vuelta" y se vuelve real.