Simplificación de Potencias

🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Una estrategia de 4 pasos para atacar cualquier problema.
• A combinar múltiples propiedades sin confundirte.
• Cómo manejar signos, coeficientes y variables al mismo tiempo.
• A dejar siempre la respuesta "limpia" (sin exponentes negativos).

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🔍 Resumen de propiedades

Ten esta tabla a mano.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: El Combo Básico

Simplifica $(2x^3y^2)^3 \cdot (3x^2y)^2$.

Datos:

• Dos paréntesis elevados a potencias.

Razonamiento:

1. Quitar paréntesis (Distribuir):

Para el primero:

$$(2x^3y^2)^3 = 2^3 \cdot (x^3)^3 \cdot (y^2)^3$$ $$= 8x^9y^6$$

Para el segundo:

$$(3x^2y)^2 = 3^2 \cdot (x^2)^2 \cdot y^2$$ $$= 9x^4y^2$$

2. Juntar (Multiplicar):

Números:

$$8 \cdot 9 = 72$$

Variable x:

$$x^9 \cdot x^4 = x^{13}$$

Variable y:

$$y^6 \cdot y^2 = y^8$$

3. Resultado:

$$72x^{13}y^8$$

Resultado: $\boxed{72x^{13}y^8}$

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Ejemplo 2: División y Resta

Simplifica $\dfrac{15a^5b^{-2}}{3a^2b^3}$.

Datos:

• Coeficientes 15 y 3.
• Variables $a$ y $b$ (con negativos).

Razonamiento:

1. Números:

$$\frac{15}{3} = 5$$

2. Variables (Resta):

Para $a$:

$$5 - 2 = 3 \to a^3$$

Para $b$:

$$-2 - 3 = -5 \to b^{-5}$$

3. Limpiar negativos:

$$5a^3b^{-5} = \frac{5a^3}{b^5}$$

Resultado: $\boxed{\frac{5a^3}{b^5}}$

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Ejemplo 3: La "Torre" de Fracciones

Simplifica $\left( \dfrac{2x^3}{y^2} \right)^4 \cdot \left( \dfrac{y}{x^2} \right)^3$.

Datos:

• Dos fracciones elevadas a potencias.

Razonamiento:

1. Distribuir exponentes:

Primera fracción:

$$\frac{2^4 x^{12}}{y^8} = \frac{16x^{12}}{y^8}$$

Segunda fracción:

$$\frac{y^3}{x^6}$$

2. Multiplicar fracciones (lineal):

$$\frac{16x^{12}y^3}{y^8x^6}$$

3. Simplificar (Resta):

Para $x$:

$$12 - 6 = 6 \text{ (arriba)}$$

Para $y$:

$$3 - 8 = -5 \text{ (o sea, 5 abajo)}$$

4. Respuesta:

$$\frac{16x^6}{y^5}$$

Resultado: $\boxed{\frac{16x^6}{y^5}}$

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Ejemplo 4: Exponente Negativo Externo

Simplifica $\left( \dfrac{3a^{-2}}{b^3} \right)^{-2}$.

Datos:

• Exponente de afuera es -2.

Razonamiento:

1. Truco del Volantín: Invertimos la fracción y hacemos positivo el exponente de afuera.

$$\left( \frac{b^3}{3a^{-2}} \right)^2$$

2. Distribuir el 2:

$$\frac{b^6}{3^2 a^{-4}} = \frac{b^6}{9a^{-4}}$$

3. Subir el negativo: El $a^{-4}$ de abajo sube como $a^4$.

$$\frac{b^6a^4}{9}$$

Resultado: $\boxed{\frac{a^4b^6}{9}}$

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Ejemplo 5: Todo contra todos

Simplifica $\dfrac{(x^2y)^3 \cdot (x^{-1}y^2)^{-2}}{x^4y^{-1}}$.

Datos:

• Numerador complejo, denominador simple.

Razonamiento:

1. Numerador - Primera parte:

$$(x^2y)^3 = x^6y^3$$

2. Numerador - Segunda parte:

$$(x^{-1}y^2)^{-2} = x^{(-1)(-2)}y^{(2)(-2)} = x^2y^{-4}$$

3. Multiplicamos todo el numerador:

$$x^6y^3 \cdot x^2y^{-4} = x^8y^{-1}$$

4. División:

$$\frac{x^8y^{-1}}{x^4y^{-1}}$$

5. Simplificar:

Para $x$:

$$8 - 4 = 4$$

Para $y$:

$$-1 - (-1) = -1 + 1 = 0$$

(Los $y$ se cancelan)

Resultado: $\boxed{x^4}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Simplifica $(2x^2)^3 \cdot x^4$.

Ver solución

Razonamiento:

$$8x^6 \cdot x^4 = 8x^{10}$$

Resultado: $\boxed{8x^{10}}$

Ejercicio 2

Simplifica $\dfrac{x^5y^2}{x^3y^5}$.

Ver solución

Razonamiento:

$$x^{5-3} y^{2-5} = x^2 y^{-3}$$ $$= \frac{x^2}{y^3}$$

Resultado: $\boxed{\frac{x^2}{y^3}}$

Ejercicio 3

Simplifica $(3a^{-1})^2$.

Ver solución

Razonamiento:

$$3^2 a^{-2} = 9a^{-2}$$ $$= \frac{9}{a^2}$$

Resultado: $\boxed{\frac{9}{a^2}}$

Ejercicio 4

Simplifica $\left( \dfrac{x}{2} \right)^{-3}$.

Ver solución

Razonamiento:

$$\left(\frac{2}{x}\right)^3 = \frac{8}{x^3}$$

Resultado: $\boxed{\frac{8}{x^3}}$

Ejercicio 5

Simplifica $\dfrac{(ab)^3}{a^2b}$.

Ver solución

Razonamiento:

$$\frac{a^3b^3}{a^2b} = a^{3-2}b^{3-1} = ab^2$$

Resultado: $\boxed{ab^2}$

Ejercicio 6

Simplifica $(x^0 y^2)^3$.

Ver solución

Razonamiento:

$$x^0 = 1$$ $$(1 \cdot y^2)^3 = (y^2)^3 = y^6$$

Resultado: $\boxed{y^6}$

Ejercicio 7

Simplifica $\dfrac{10x^5}{2x^{-2}}$.

Ver solución

Razonamiento:

$$\frac{10}{2} x^{5-(-2)} = 5x^7$$

Resultado: $\boxed{5x^7}$

Ejercicio 8

Simplifica $\left( \dfrac{a^2}{b^3} \right)^2 \cdot \left( \dfrac{b}{a} \right)^3$.

Ver solución

Razonamiento:

$$\frac{a^4}{b^6} \cdot \frac{b^3}{a^3}$$ $$= \frac{a^4b^3}{a^3b^6}$$ $$= \frac{a}{b^3}$$

Resultado: $\boxed{\frac{a}{b^3}}$

Ejercicio 9

Simplifica $\dfrac{x^{-2} \cdot x^5}{x^3}$.

Ver solución

Razonamiento:

Numerador:

$$x^{-2 + 5} = x^3$$

División:

$$\frac{x^3}{x^3} = 1$$

Resultado: $\boxed{1}$

Ejercicio 10

Simplifica $(2x)^2 + (3x)^2$ (¡Cuidado, es suma!).

Ver solución

Razonamiento:

$$4x^2 + 9x^2$$

Son términos semejantes.

$$= 13x^2$$

Resultado: $\boxed{13x^2}$

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🔑 Resumen

Al final, una expresión simplificada no debe tener paréntesis, ni bases repetidas, ni exponentes negativos.