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Simplificación de Fracciones Algebraicas

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Simplificación de Fracciones Algebraicas

Simplificar una fracción algebraica es como reducir una fracción numérica: el objetivo es hacerla más sencilla dividiendo arriba y abajo por lo mismo. Si sabes que 48\frac{4}{8} es lo mismo que 12\frac{1}{2}, ¡ya entiendes el concepto básico!

🎯 ¿Qué vas a aprender?

  • El principio fundamental: solo se simplifican factores (multiplicaciones), no términos (sumas).
  • A simplificar coeficientes y variables usando leyes de exponentes.
  • A usar la factorización para reducir polinomios complejos.
  • A evitar el error número 1 de los estudiantes: cancelar sumas.

🔍 La regla de oro

"Solo puedes cancelar lo que está multiplicando a todo el bloque."

Si tienes una suma o resta, ¡PROHIBIDO CANCELAR! Primero debes factorizar para convertir esas sumas en multiplicaciones.

⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Simplificación de monomios

Simplifica: 15x3y225x2y4\dfrac{15x^3y^2}{25x^2y^4}

Datos:

  • Coeficientes: 15 y 25.
  • Variables: xx y yy.

Razonamiento:

  1. Números: Simplificamos 1525\frac{15}{25} dividiendo por 5:
35\frac{3}{5}
  1. Letras: Restamos exponentes (el mayor "gana" y se queda en su lugar).
    • xx: Arriba 3, abajo 2. Gana arriba por 1. →x1\to x^1 arriba.
    • yy: Arriba 2, abajo 4. Gana abajo por 2. →y2\to y^2 abajo.

Resultado: 3x5y2\boxed{\frac{3x}{5y^2}}

Ejemplo 2: Polinomio entre Monomio

Simplifica: 4x2+8x2x\dfrac{4x^2 + 8x}{2x}

Datos:

  • Arriba hay una suma. ¡No cancelar el 2x2x de arriba con el de abajo directamente!

Razonamiento:

  1. Factorizamos el numerador (Factor común 4x4x):
4x2+8x=4x(x+2)4x^2 + 8x = 4x(x+2)
  1. Reescribimos la fracción:
4x(x+2)2x\frac{4x(x+2)}{2x}
  1. Ahora sí, 4x4x y 2x2x están multiplicando.
    • 42=2\frac{4}{2} = 2.
    • xx=1\frac{x}{x} = 1 (se van).

Resultado: 2(x+2)\boxed{2(x+2)}

Ejemplo 3: Diferencia de Cuadrados

Simplifica: x2−9x+3\dfrac{x^2 - 9}{x + 3}

Datos:

  • Numerador: x2−9x^2 - 9 (Diferencia de cuadrados).
  • Denominador: x+3x + 3.

Razonamiento:

  1. Factorizamos arriba:
x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
  1. Sustituimos:
(x−3)(x+3)x+3\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}
  1. Cancelamos el bloque completo (x+3)(x+3).

Resultado: x−3\boxed{x - 3}

Ejemplo 4: Trinomios

Simplifica: x2+2x−15x2−9\dfrac{x^2 + 2x - 15}{x^2 - 9}

Datos:

  • Numerador: Trinomio de la forma x2+bx+cx^2+bx+c.
  • Denominador: Diferencia de cuadrados.

Razonamiento:

  1. Factorizamos numerador:

    • Multiplican -15, suman 2: (5,−3)(5, -3).
    • (x+5)(x−3)(x+5)(x-3).

  2. Factorizamos denominador:

    • (x+3)(x−3)(x+3)(x-3).

  3. Reescribimos:

(x+5)(x−3)(x+3)(x−3)\frac{(x+5)(x-3)}{(x+3)(x-3)}
  1. Cancelamos (x−3)(x-3).

Resultado: x+5x+3\boxed{\frac{x+5}{x+3}}

Ejemplo 5: Factorización de signo negativo (Truco avanzado)

Simplifica: a−bb−a\dfrac{a - b}{b - a}

Datos:

  • Los términos son iguales pero con signos opuestos.

Razonamiento:

  1. Factorizamos un signo negativo en el denominador para invertirlo:
b−a=−(−b+a)=−(a−b)b - a = -(-b + a) = -(a - b)
  1. Sustituimos:
a−b−(a−b)\frac{a - b}{-(a - b)}

  1. Cancelamos el bloque (a−b)(a-b).

  2. Queda:

1−1=−1\frac{1}{-1} = -1

Resultado: −1\boxed{-1}

📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Simplifica 14a221a\dfrac{14a^2}{21a}.

Ver solución

Datos: Simplificar 14/21 y a2/aa^2/a.
Razonamiento: 14/21 = 2/3. a2/a=aa^2/a = a.
Resultado: 2a3\boxed{\frac{2a}{3}}

Ejercicio 2

Simplifica 3x+123\dfrac{3x + 12}{3}.

Ver solución

Datos: Factor común 3 arriba.
Razonamiento:

3(x+4)3\frac{3(x+4)}{3}

Se van los 3.

Resultado: x+4\boxed{x+4}

Ejercicio 3

Simplifica x2−xxy\dfrac{x^2 - x}{xy}.

Ver solución

Datos: Factor común x arriba.
Razonamiento:

x(x−1)xy\frac{x(x-1)}{xy}

Cancelamos xx.

Resultado: x−1y\boxed{\frac{x-1}{y}}

Ejercicio 4

Simplifica 5x−5yx−y\dfrac{5x - 5y}{x - y}.

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Datos: Factor común 5.
Razonamiento:

5(x−y)x−y=5\frac{5(x-y)}{x-y} = 5

Resultado: 5\boxed{5}

Ejercicio 5

Simplifica x2−16x−4\dfrac{x^2 - 16}{x - 4}.

Ver solución

Datos: Dif. cuadrados.
Razonamiento:

(x+4)(x−4)x−4\frac{(x+4)(x-4)}{x-4}

Resultado: x+4\boxed{x+4}

Ejercicio 6

Simplifica x2+5x+6x+2\dfrac{x^2 + 5x + 6}{x + 2}.

Ver solución

Datos: Trinomio.
Razonamiento:

Numerador: (x+3)(x+2)(x+3)(x+2).

Denominador: (x+2)(x+2).

Resultado: x+3\boxed{x+3}

Ejercicio 7

Simplifica 2x−4x2−4\dfrac{2x - 4}{x^2 - 4}.

Ver solución

Razonamiento:

Numerador: 2(x−2)2(x-2).

Denominador: (x+2)(x−2)(x+2)(x-2).

Cancelamos (x−2)(x-2).

Resultado: 2x+2\boxed{\frac{2}{x+2}}

Ejercicio 8

Simplifica a2−2ab+b2a2−b2\dfrac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2}.

Ver solución

Razonamiento:

Numerador: (a−b)2(a-b)^2.

Denominador: (a+b)(a−b)(a+b)(a-b).

Cancelamos un (a−b)(a-b).

Resultado: a−ba+b\boxed{\frac{a-b}{a+b}}

Ejercicio 9

Simplifica 3x−65x−10\dfrac{3x - 6}{5x - 10}.

Ver solución

Razonamiento:

Numerador: 3(x−2)3(x-2).

Denominador: 5(x−2)5(x-2).

Resultado: 35\boxed{\frac{3}{5}}

Ejercicio 10

Simplifica x2−5x+6x2−4x+4\dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4x + 4}.

Ver solución

Razonamiento:

Numerador: (x−3)(x−2)(x-3)(x-2).

Denominador: (x−2)2(x-2)^2.

Cancelamos un (x−2)(x-2).

Resultado: x−3x−2\boxed{\frac{x-3}{x-2}}

🔑 Resumen

PasoAcción
1. FactorizarConvierte TODAS las sumas en multiplicaciones.
2. CancelarElimina los bloques idénticos arriba y abajo.
3. ResultadoEscribe lo que quedó.

Recuerda: x+55\frac{x+5}{5} NO es x+1x+1. El 5 divide a todo, no solo al 5.