Cuadrado de un Trinomio

🎯 ¿Qué vas a aprender?

• A extender la regla del binomio a expresiones de tres términos.
• El truco para recordar los "dobles productos" sin que falte ninguno.
• Cómo manejar los signos negativos dentro de un trinomio al cuadrado.
• A aplicar esta fórmula en problemas de simplificación algebraica.

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🏗️ Extendiendo el Cuadrado

Si ya sabemos que $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, el cuadrado de un trinomio $(a+b+c)^2$ sigue una lógica muy similar. La clave está en elevar cada término al cuadrado y luego combinar todos los términos posibles de dos en dos.

Ejemplo: La estructura básica

Calcula: $(x + y + z)^2$

Razonamiento:

1. Elevamos cada uno al cuadrado: $x^2$, $y^2$, $z^2$.
2. Multiplicamos el doble de cada pareja posible:
   • Doble del 1ero por el 2do: $2xy$
   • Doble del 1ero por el 3ro: $2xz$
   • Doble del 2do por el 3ro: $2yz$
3. Sumamos todo.

Resultado: $\boxed{x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz}$

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📏 La Regla General

Para cualquier trinomio $(a+b+c)$, su cuadrado siempre será:

$$\boxed{(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc}$$

Regla de oro: Primero los tres cuadrados (siempre positivos), luego los tres dobles productos (atención a los signos).

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⚠️ El Manejo de los Signos

Cuando un trinomio tiene signos negativos, los cuadrados siguen siendo positivos (porque elevar al cuadrado siempre da positivo), pero los productos dobles heredarán el signo resultante de la multiplicación.

Ejemplo: Un término negativo

Calcula: $(x + y - 2)^2$

Razonamiento:

1. Cuadrados: $x^2$, $y^2$, $(-2)^2 = 4$.
2. Dobles productos:
   • $2 \cdot x \cdot y = 2xy$
   • $2 \cdot x \cdot (-2) = -4x$
   • $2 \cdot y \cdot (-2) = -4y$

Resultado: $\boxed{x^2 + y^2 + 4 + 2xy - 4x - 4y}$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Con coeficientes

Desarrolla: $(2a + b + 5)^2$

Datos:

• Términos: $2a$, $b$, $5$.

Razonamiento:

1. Cuadrados: $(2a)^2 = 4a^2$, $b^2$, $5^2 = 25$.
2. Dobles productos:
   • $2 \cdot (2a) \cdot b = 4ab$
   • $2 \cdot (2a) \cdot 5 = 20a$
   • $2 \cdot b \cdot 5 = 10b$

Resultado: $\boxed{4a^2 + b^2 + 25 + 4ab + 20a + 10b}$

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Ejemplo 2: Todo negativo

Calcula: $(a - b - c)^2$

Datos:

• $a$ positivo, $b$ y $c$ negativos.

Razonamiento:

1. Cuadrados: $a^2 + b^2 + c^2$ (siempre positivos).
2. Dobles productos:
   • $2 \cdot a \cdot (-b) = -2ab$
   • $2 \cdot a \cdot (-c) = -2ac$
   • $2 \cdot (-b) \cdot (-c) = 2bc$ (menos por menos es más).

Resultado: $\boxed{a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Desarrolla el trinomio: $(m + n + p)^2$

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Datos: Tres variables positivas.
Razonamiento: Elevamos cada una al cuadrado y sumamos los dobles de cada par: $m^2+n^2+p^2+2mn+2mp+2np$.
Resultado: $\boxed{m^2 + n^2 + p^2 + 2mn + 2mp + 2np}$

Ejercicio 2

Resuelve: $(x + y + 2)^2$

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Datos: Dos letras y un número.
Razonamiento: $x^2 + y^2 + 2^2 + 2(x)(y) + 2(x)(2) + 2(y)(2) = x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4x + 4y$.
Resultado: $\boxed{x^2 + y^2 + 2xy + 4x + 4y + 4}$

Ejercicio 3

Calcula: $(a + 2b + c)^2$

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Datos: Término central con coeficiente.
Razonamiento: $a^2 + (2b)^2 + c^2 + 2(a)(2b) + 2(a)(c) + 2(2b)(c) = a^2 + 4b^2 + c^2 + 4ab + 2ac + 4bc$.
Resultado: $\boxed{a^2 + 4b^2 + c^2 + 4ab + 2ac + 4bc}$

Ejercicio 4

Desarrolla: $(x - y + 1)^2$

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Datos: Cuidado con el signo de $y$.
Razonamiento: $x^2 + (-y)^2 + 1^2 + 2(x)(-y) + 2(x)(1) + 2(-y)(1) = x^2 + y^2 + 1 - 2xy + 2x - 2y$.
Resultado: $\boxed{x^2 + y^2 - 2xy + 2x - 2y + 1}$

Ejercicio 5

Calcula: $(3a + b + 2)^2$

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Datos: Primer y tercer término con números.
Razonamiento: $(3a)^2 + b^2 + 2^2 + 2(3a)(b) + 2(3a)(2) + 2(b)(2) = 9a^2 + b^2 + 4 + 6ab + 12a + 4b$.
Resultado: $\boxed{9a^2 + b^2 + 6ab + 12a + 4b + 4}$

Ejercicio 6

Resuelve: $(2x - y - z)^2$

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Datos: Dos signos negativos.
Razonamiento: $(2x)^2 + y^2 + z^2 + 2(2x)(-y) + 2(2x)(-z) + 2(-y)(-z) = 4x^2 + y^2 + z^2 - 4xy - 4xz + 2yz$.
Resultado: $\boxed{4x^2 + y^2 + z^2 - 4xy - 4xz + 2yz}$

Ejercicio 7

Desarrolla: $(a + b - 3c)^2$

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Datos: Tercer término con coeficiente y signo.
Razonamiento: $a^2 + b^2 + (-3c)^2 + 2(a)(b) + 2(a)(-3c) + 2(b)(-3c) = a^2 + b^2 + 9c^2 + 2ab - 6ac - 6bc$.
Resultado: $\boxed{a^2 + b^2 + 9c^2 + 2ab - 6ac - 6bc}$

Ejercicio 8

Calcula: $(x + \frac{1}{2} + y)^2$

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Datos: Fracción en el medio.
Razonamiento: $x^2 + (\frac{1}{2})^2 + y^2 + 2(x)(\frac{1}{2}) + 2(x)(y) + 2(\frac{1}{2})(y) = x^2 + \frac{1}{4} + y^2 + x + 2xy + y$.
Resultado: $\boxed{x^2 + y^2 + 2xy + x + y + \frac{1}{4}}$

Ejercicio 9

Simplifica: $(a + b + 1)^2 - 2ab$

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Datos: Desarrollo y resta.
Razonamiento: $(a^2+b^2+1+2ab+2a+2b) - 2ab$. Vemos que el término $2ab$ se cancela.
Resultado: $\boxed{a^2 + b^2 + 2a + 2b + 1}$

Ejercicio 10

Si $x+y+z=5$ y $x^2+y^2+z^2=9$, ¿cuánto vale $xy+xz+yz$?

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Datos: Usamos la fórmula $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)$.
Razonamiento: $5^2 = 9 + 2(xy+xz+yz) \to 25 - 9 = 2(\text{suma}) \to 16 = 2(\text{suma})$.
Resultado: $\boxed{8}$

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🔑 Resumen

El cuadrado de un trinomio es la suma de los tres cuadrados más el doble de todos los productos posibles. ¡Mantenlo ordenado y no fallarás!